霖楓學苑 · LF Academy
小五 · 第 10 堂 · 學生版講義
分數應用題（剩餘陷阱＋多步驟）
單元三 · 分數應用題 · 65 分鐘 · 一對三線上課程
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》5上A冊 單元三 ＋ 現代教育 5上A 單元11-12
核心陷阱：🪤 T3「剩下的幾分之幾」基準量變化 ＋ T7 多步推理鏈
SSPA 關聯：🔴 高頻 呈分試卷二文字題必考，佔應用題約 25-30%
前置知識：堂8（異分母加法）、堂9（分數乘法—交叉約分法）、分數加減應用題
本堂目標：❶ 分數「是…的幾分之幾」 ❷ 剩餘陷阱（基準量變化） ❸ 多步驟推理鏈 ❹ 逆向推理（已知結果求原量）
核心陷阱：🪤 T3「剩下的幾分之幾」基準量變化 ＋ T7 多步推理鏈
SSPA 關聯：🔴 高頻 呈分試卷二文字題必考，佔應用題約 25-30%
前置知識：堂8（異分母加法）、堂9（分數乘法—交叉約分法）、分數加減應用題
本堂目標：❶ 分數「是…的幾分之幾」 ❷ 剩餘陷阱（基準量變化） ❸ 多步驟推理鏈 ❹ 逆向推理（已知結果求原量）
學生姓名：
班級：
日期：
完成時長：
家長30秒摘要
本堂重點：陷阱破解掌握關鍵概念呈分試關聯香港課程學完本堂，小朋友將能夠：① 識別本課陷阱 ② 正確解題 ③ 應用口訣
常見錯誤：請留意講義中的警告框
家中鞏固建議：完成課後3題練習，重點留意陷阱題
一、熱身啟動題 （5 分鐘）（共 5 題，5 分鐘）
🏆 陷阱獵人·計時挑戰
每題限時90秒！搵出隱藏嘅陷阱，答對+1分，連續答對分數加倍！留意題目中嘅「陷阱關鍵字」— 佢會話你知邊度最易出錯！
⭐ 開始挑戰 →
🍕 Pizza店大冒險
一個Pizza切咗8份。小明食咗3份，小華食咗2份。佢哋一共食咗幾多個Pizza？等我哋用分數加法計吓！記住口訣：分母不變，分子相加！| # | 題目 | 難度 | 作答區（寫出完整計算過程） |
|---|---|---|---|
| 1 | 計算 23 × 12 = ？（交叉約分，堂9基礎） | 🌱 基礎 | |
| 2 | 計算 1 − 14 = ？（「剩下的」= 1 − 用去的，P4基礎） | 🌱 基礎 | |
| 3 | 一條繩子長 3 米，用了 13。用了多少米？（「全長的幾分之幾」= 乘法） | 🌱 基礎 | |
| 4 | 小明有 12 粒糖，吃了 14，剩下幾粒？（先求吃了幾粒，再求剩餘） | 🌱 基礎 | |
| 5 | 小美有 $60，用了 13，剩下多少元？再用去「剩下的 14」，再用了多少？（注意兩次基準量不同！） | 🌿 進階 |
二、核心知識精講 （15 分鐘） ＋ 例題練習
知識點一：分數應用題——「是…的幾分之幾」🔴 SSPA
核心公式：
① 「A 的 B 分之 C」 = A × CB（關鍵詞「的」= 乘法）
② 「A 是 B 的幾分之幾」 = A ÷ B = AB（比較關係）
③ 求「部分」：總量 × 分數 = 部分量
④ 求「分率」：部分量 ÷ 總量 = 分率（本堂不深入）
① 「A 的 B 分之 C」 = A × CB（關鍵詞「的」= 乘法）
② 「A 是 B 的幾分之幾」 = A ÷ B = AB（比較關係）
③ 求「部分」：總量 × 分數 = 部分量
④ 求「分率」：部分量 ÷ 總量 = 分率（本堂不深入）
WHY BOX：為甚麼異分母分數不能直接相加？
想像一個 pizza 分成 2 份（\(\frac{1}{2}\)），另一個分成 3 份（\(\frac{1}{3}\)）。
兩份的大小不同！一份是半個 pizza，一份是三分之一個 pizza。
關鍵：必須先把它們切成 一樣大小的份數（通分 — 找 LCM），才能比較或相加。
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{6}\)，\(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{6}\) → \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) ✅
數學本質：分數的分母代表「單位大小」，不同單位不能直接相加（就像 1cm + 1m ≠ 2，要先轉換單位）。
💡 分數應用題兩大類型：1)求整體的幾分之幾→用乘法（整體×分率）；2)已知部分的量求整體→用除法（部分÷分率）。關鍵係分清邊個係「整體」！
兩份的大小不同！一份是半個 pizza，一份是三分之一個 pizza。
關鍵：必須先把它們切成 一樣大小的份數（通分 — 找 LCM），才能比較或相加。
\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{6}\)，\(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{6}\) → \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) ✅
數學本質：分數的分母代表「單位大小」，不同單位不能直接相加（就像 1cm + 1m ≠ 2，要先轉換單位）。
📖 故事情境
🍕 Pizza 分享日！
老師帶咗 3 個大 pizza 返學校，要分俾 4 個小組。
小明話：「每個組拎 1 個 pizza，仲剩返...」
小美即刻答：「唔得㗎！每個組應該拎 \(\frac{3}{4}\) 個 pizza！」
老師笑住問：「點解你咁快計到？」小美話：「因為我識分數嘛！」
今日我哋一齊嚟學分數嘅奧秘 — 點樣切、點樣比較、點樣計算！
老師帶咗 3 個大 pizza 返學校，要分俾 4 個小組。
小明話：「每個組拎 1 個 pizza，仲剩返...」
小美即刻答：「唔得㗎！每個組應該拎 \(\frac{3}{4}\) 個 pizza！」
老師笑住問：「點解你咁快計到？」小美話：「因為我識分數嘛！」
今日我哋一齊嚟學分數嘅奧秘 — 點樣切、點樣比較、點樣計算！
💡 分數應用題：遇到「幾分之幾」→判斷「整體」係咩→整體×分率=部分。逆向題：部分÷分率=整體。畫棒形圖幫手理解！
🪤 陷阱引爆例題
全班 40 人，35 是男生。男生有多少人？
❌ 常見錯誤
40 ÷ 35 = 66.7？
「的」是乘法，不是除法！40 × 35 才對
✅ 正確解法
24 人
40 × 35 = 1205 = 24
🧠 口訣：「見『的』就乘，見『是』就除；基準量要看清，第一次和第二次可能不同」
⚠️ 關鍵區分：「A 的 C/B」→ A × C/B（乘法）。「A 是 B 的幾分之幾」→ A ÷ B（除法）。
知識點一 例題練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 例1 | 一瓶水 12 升，小明喝了其中的 23。喝了多少升？ | 🌱 | |
| 例2 | 一條緞帶長 34 米，剪去 12。剪去了多少米？ | 🌱 |
知識點二：「剩下的幾分之幾」——基準量陷阱 🔴 SSPA 必考殺手題
這是最多學生跌倒的陷阱！
① 陷阱本質：第一次用去後，「剩下的」不再是原來的總量
② 第二次運算的基準量 = 第一次剩下的量（不是原總量！）
③ 標準流程：
Step 1：求第一次用去的量（原總量 × 分數₁）
Step 2：求第一次剩下的量（原總量 − 用去的）
Step 3：求第二次用去的量（第一次剩下的量 × 分數₂）
④ 常見但錯：直接用原總量 × 分數₂（忽略了基準量已經改變！）
① 陷阱本質：第一次用去後，「剩下的」不再是原來的總量
② 第二次運算的基準量 = 第一次剩下的量（不是原總量！）
③ 標準流程：
Step 1：求第一次用去的量（原總量 × 分數₁）
Step 2：求第一次剩下的量（原總量 − 用去的）
Step 3：求第二次用去的量（第一次剩下的量 × 分數₂）
④ 常見但錯：直接用原總量 × 分數₂（忽略了基準量已經改變！）
🪤 陷阱對比例題（本堂核心）
一條繩子長 24 米，先用去 13，再用去剩下的 12。第二次用去多少米？
❌ 典型錯誤（80%學生）
24 × 12 = 12 米
直接用原總量 × \(\frac{1}{2}\)，但基準量已變成 16 米！
✅ 正確解法
8 米
Step1: 24×13=8（用去）
Step2: 24−8=16（剩下）
Step3: 16×12=8（第二次用去）
Step2: 24−8=16（剩下）
Step3: 16×12=8（第二次用去）
🧠 口訣：「每次用完計一計剩幾多，下次乘嘅時候個底數已經唔同咗！」
⚠️ 最致命陷阱：「剩下的幾分之幾」——每次運算前必須重新確認「基準量」！
知識點二 例題練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 例3 | 一盒糖 24 粒，第一天吃了 13，第二天吃了「剩下的 12」。第二天吃了幾粒？（注意基準量已變） | 🌳 | |
| 例4 | 一桶油 10 升，第一次用去 25，第二次用去剩下的 13。第二次用去多少升？ | 🌳 |
知識點三：多步驟分數應用題（連續推理鏈）🔴 SSPA 進階
連續剩餘問題——每一步都要重新計算基準量：
① 繪製流程圖：總量 → 第一步（用去）→ 剩₁ → 第二步（用去）→ 剩₂ → ...
② 逐步計算：不跳步驟，每一步都記錄「用了多少」和「剩下多少」
③ 驗證技巧：把各步驟用量加總 + 最終剩餘 = 總量（驗算）
① 繪製流程圖：總量 → 第一步（用去）→ 剩₁ → 第二步（用去）→ 剩₂ → ...
② 逐步計算：不跳步驟，每一步都記錄「用了多少」和「剩下多少」
③ 驗證技巧：把各步驟用量加總 + 最終剩餘 = 總量（驗算）
①
畫流程圖
總→用₁→剩₁
→用₂→剩₂→...
→用₂→剩₂→...
②
逐步計算
每步記錄
用去＋剩餘
用去＋剩餘
③
確認基準量
每次用的分數
基準量是上次剩餘
基準量是上次剩餘
④
驗算
各步用量+
最終剩=總量
最終剩=總量
例題
例5：媽媽有 $100，用了 14 買菜，餘下的 13 買水果。買水果用了多少元？
例題
例6：一瓶油 23 升，第一次用去 12，第二次用去剩下的 13。第二次用了多少升？
知識點四：逆向推理——已知結果求原量 🔴 SSPA 卷二殺手題
逆向推理（還原問題）：
① 已知最後剩餘量，求原來總量
② 關鍵：倒推！
若用去 13，剩下 = 總量 × (1 − 13) = 總量 × 23
所以：總量 = 剩餘量 ÷ (1 − 分數)
③ 簡單公式：原量 = 剩餘量 ÷ 剩餘分率
① 已知最後剩餘量，求原來總量
② 關鍵：倒推！
若用去 13，剩下 = 總量 × (1 − 13) = 總量 × 23
所以：總量 = 剩餘量 ÷ (1 − 分數)
③ 簡單公式：原量 = 剩餘量 ÷ 剩餘分率
例題
例7：小明有一些糖，用了 13 後剩下 12 粒。原來有多少粒？（提示：剩下佔幾分之幾？）
例題
例8：一箱蘋果，賣了 25 後剩下 30 個。原來有多少個？（提示：剩餘分率 = 1 − 25 = 35）
🧠 口訣（逆向推理）：「用去幾多唔緊要，搵出剩低幾分之幾，剩低量除剩餘分率，就搵返原來！」
三、課堂分層同步練習 （20 分鐘）（共 15 題）
🌱 基礎層（共 5 題，全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 9 | 全班 36 人，13 是近視。近視的有多少人？ | 🌱 | |
| 10 | 一條絲帶長 23 米，用了 12。用去了多少米？ | 🌱 | |
| 11 | 一盒蛋撻有 12 個，吃了 13。剩下多少個？ | 🌱 | |
| 12 | 爸爸月薪 $30000，用了 15 交租。交租多少元？ | 🌱 | |
| 13 | 一個西瓜重 2 公斤，吃了 34。吃了多少公斤？ | 🌱 |
🌿 進階層（共 5 題，🚶🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 14 | 一桶油 5 升，第一天用去 15，第二天用去「剩下的 14」。第二天用去多少升？ | 🌿 | |
| 15 | 一條繩子長 3 米，先用去 13 米，再用去「剩下的 12 米」。最後剩下多少米？ | 🌿 | |
| 16 | 家裏有米 20 公斤，第一星期吃去 14，第二星期吃去「剩下的 15」。第二星期吃了多少公斤？ | 🌿 | |
| 17 | 姐姐有 $240，用了 13 買書，餘下的 12 買文具。買文具用了多少元？ | 🌳 | |
| 18 | 一個蛋糕，爸爸吃了 14，媽媽吃了「剩下的 13」，弟弟吃了「再剩下的 12」。弟弟吃了整個蛋糕的幾分之幾？ | 🌳 |
🌳 挑戰層（共 5 題，🚀 選做，呈分試殺手題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 19 | 倉庫有米 180 包。第一天運走 13，第二天運走「剩下的 14」，第三天運走「再剩下的 12」。第三天運走了多少包？ | 🌳 | |
| 20 | 一本書有 240 頁。第一天看了 14，第二天看了「餘下的 13」，第三天看了「再餘下的 12」。還剩多少頁未看？ | 🏔️ | |
| 21 | 一個長方形長 34 米，闊是長的 23。面積是多少平方米？（先求闊，再求面積） | 🌳 | |
| 22 | 一瓶果汁有 112 升。第一次倒了 13，第二次倒了「餘下的 12」。還剩多少升？ | 🌳 | |
| 23 | 小美有貼紙若干張。送了 14 給小華，又送了「剩下的 13」給小明，最後剩 18 張。小美原來有多少張貼紙？（逆向推理） | 🏔️ |
四、分數應用題專項訓練（共 8 題，全部必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 24 | 一個地盤的 14 建了住宅，餘下的 25 建了商場。商場佔地盤的幾分之幾？（注意：基準量是「餘下的」！） | 🌳 | |
| 25 | 學校有學生 800 人，38 是小學生（P1-P3），餘下的 25 是中學生（P4-P6）。中學生有多少人？ | 🌳 | |
| 26 | 一條路長 2 公里，已修了 38，餘下的 15 會在下星期修。下星期修多少公里？ | 🌳 | |
| 27 | 花園的 25 種花，花的 34 是玫瑰。玫瑰佔花園的幾分之幾？（兩層的「的」= 連乘） | 🌳 | |
| 28 | 一桶水有 12 升，先用去 14，再加入 13 升。現在有多少升？（混合加減乘法！） | 🌳 | |
| 29 | 小明有 $150，用了 15 買鉛筆，「餘下的 13」買簿，「最後餘下的 12」買零食。買零食用了多少元？ | 🏔️ | |
| 30 | 一條長方形花槽長 212 米，闊是長的 12。面積是多少平方米？（帶分數×分數→先轉假） | 🌳 | |
| 31 | 哥哥有糖若干粒。他吃了 15 後，餘下 40 粒。原來有多少粒？（逆向推理） | 🌳 |
五、🏔️ 終極挑戰專區（共 3 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 🏔️1 | 一本書，第一天看 13，第二天看「剩下的 35」，還剩 40 頁。這本書共多少頁？（終極逆向推理——兩層還原） | 🏔️ | |
| 🏔️2 | 水缸有水 20 升。第一天用去 15，第二天用去「剩下的 14」，第三天用去「再剩下的 13」，第四天用去「又再剩下的 12」。第四天用了多少升？最後剩多少升？（四步推理鏈） | 🏔️ | |
| 🏔️3 | 三個小朋友分一盒朱古力。A 拿了 14，B 拿了「剩下的 13」，C 拿了「再剩下的 12」，最後盒內剩 6 粒。原來一盒多少粒？（三重還原推理） | 🏔️ |
六、課後功課
基礎必做題（共 5 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| H1 | 一條繩子長 5 米，用了 15。用了多少米？ | 🌱 | |
| H2 | 一瓶果汁 12 升，喝了其中的 12。喝了多少升？ | 🌱 | |
| H3 | 一盒餅乾 24 塊，吃了 23。剩下多少塊？ | 🌱 | |
| H4 | 一盆花高 12 米，澆水後長高了原來的 12。現在高多少米？（注意：長高了「原來的」\(\frac{1}{2}\)） | 🌿 | |
| H5 | 姐姐有 $120，用了 13 買書，再用「餘下的 14」買手作材料。買手作材料用了多少元？ | 🌳 |
進階選做題（共 3 題，🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| H6 | 一條緞帶長 114 米，用了 13。用了多少米？ | 🌳 | |
| H7 | 一個月的 14 是晴天，餘下的 13 是雨天，再餘下的 12 是陰天。陰天佔整個月的幾分之幾？（三層剩餘推理） | 🏔️ | |
| H8 | 一個水箱有水若干升。用去 25 後，剩下 18 升。水箱原來有水多少升？（逆向推理） | 🌳 |
七、本堂核心易錯點總結
✅ 本堂自我檢查（完成後打剔）
☐ 我識得分辦每個知識點嘅陷阱
☐ 我能夠獨立完成🌱基礎題
☐ 我能夠挑戰🌿進階題
☐ 我記得住口訣
🎯 學習目標回顧 — 完成本堂後你應該能夠：
☐ 辨認本堂所有陷阱類型
☐ 獨立解答🌱基礎題（100%正確）
☐ 挑戰🌿進階題（80%+正確）
☐ 向同學解釋本堂口訣
| # | 易錯點 | 正確做法 |
|---|---|---|
| 1 | 「剩下的幾分之幾」直接用原總量乘 | 先計算真正的剩餘量，再用剩餘量×分數。每次基準量可能不同！ |
| 2 | 多步驟問題中跳過中間計算 | 逐步計算，每次都記錄「用了多少」和「剩下多少」，不跳步驟。 |
| 3 | 「A 的 C/B」錯用除法 | 「的」= 乘法：A × C/B。只有「A 是 B 的幾分之幾」才用除法。 |
| 4 | 逆向推理時方向錯誤 | 還原公式：原量 = 剩餘量 ÷ (1 − 用去的分率)。不是乘！ |
| 5 | 帶分數未轉假分數就計算 | 任何涉及帶分數的乘除，第一步 = 轉假分數。 |
| 6 | 單位混淆——分率 vs 實際量 | 「\(\frac{1}{3}\)」可能是分率（無單位）或實際量（有單位），看清上下文！ |
| 7 | 應用題漏答句／漏單位／漏驗算 | 必須寫「答：……」＋單位。驗算：所有步驟用量＋最終剩＝總量。 |
🏠 家長角落 · Parent Corner
今日學咗咩？ 小朋友學咗「分數應用題（剩餘陷阱＋多步驟）」。
最易錯嘅 3 個陷阱： 🪤 T3「剩下的幾分之幾」基準量變化 ＋ T7 多步推理鏈
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「分數應用題（剩餘陷阱＋多步驟）」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
最易錯嘅 3 個陷阱： 🪤 T3「剩下的幾分之幾」基準量變化 ＋ T7 多步推理鏈
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「分數應用題（剩餘陷阱＋多步驟）」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
📝 教師參考：熱身題答案 → 1)___ 2)___ 3)___ 4)___ 5)___ | 課堂練習重點關注題號：🌳挑戰層 17-21
🪤 霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱。 · LF-P5-上-L10
