長條圖解法
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🛁 浴缸大實驗！小華放滿一缸水，再走入去坐低，見到啲水溢出嚟！「溢出嘅水體積就係我身體嘅體積？」💡 排水法：浸沒物體體積 = 溢出水量！
📖 故事情境
🏟️ 設計師大挑戰！
學校要起一個新操場。校長問同學：「如果操場係長方形，長 50 米、闊 30 米，要鋪幾多平方米嘅地墊？」
小明舉手話：「我知道！長 × 闊 = 50 × 30 = 1,500 平方米！」
校長又問：「咁操場外圍要起圍欄，要幾多米？」小美即刻答：「(50+30) × 2 = 160 米！」
今日我哋一齊嚟學各種圖形嘅面積、周界同體積計算！
學校要起一個新操場。校長問同學：「如果操場係長方形，長 50 米、闊 30 米，要鋪幾多平方米嘅地墊？」
小明舉手話：「我知道！長 × 闊 = 50 × 30 = 1,500 平方米！」
校長又問：「咁操場外圍要起圍欄，要幾多米？」小美即刻答：「(50+30) × 2 = 160 米！」
今日我哋一齊嚟學各種圖形嘅面積、周界同體積計算！
🛁
🔬 情境插圖：浴缸大實驗
小華放滿一缸水，再走入去坐低，見到啲水溢出嚟！
溢出嘅水體積就係小華身體嘅體積！💡 排水法：物體體積 = 溢出水量。
溢出嘅水體積就係小華身體嘅體積！💡 排水法：物體體積 = 溢出水量。
💧
排水法
霖楓學苑 · LF Academy
小五 · 第 25 堂 · 學生版講義
體積應用題專項
排水法 · 溢出問題 · 不規則體積 · 綜合應用 · 65 分鐘 · 一對三線上課程
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》5下B冊 單元五 ＋ 現代教育 5下B 單元16
核心陷阱：🪤 T1 體積運算 — 忘記單位轉換 · T4 幾何應用 — 混淆水位上升與物體體積
SSPA 關聯：🔴 最高頻 呈分試卷一/卷二必考，佔體積應用題約 70%，是 P5 最重要幾何應用課
前置知識：L26（長方體/正方體體積公式 · 底面積計算 · 容量單位轉換 1L = 1000 cm³）
本堂目標：❶ 掌握排水法原理 ❷ 處理溢出問題 ❸ 測量不規則物體體積 ❹ 多步驟容器綜合題
核心陷阱：🪤 T1 體積運算 — 忘記單位轉換 · T4 幾何應用 — 混淆水位上升與物體體積
SSPA 關聯：🔴 最高頻 呈分試卷一/卷二必考，佔體積應用題約 70%，是 P5 最重要幾何應用課
前置知識：L26（長方體/正方體體積公式 · 底面積計算 · 容量單位轉換 1L = 1000 cm³）
本堂目標：❶ 掌握排水法原理 ❷ 處理溢出問題 ❸ 測量不規則物體體積 ❹ 多步驟容器綜合題
學生姓名：
班級：
日期：
完成時長：
家長30秒摘要
本堂重點：陷阱破解掌握關鍵概念呈分試關聯香港課程學完本堂，小朋友將能夠：① 識別本課陷阱 ② 正確解題 ③ 應用口訣
常見錯誤：請留意講義中的警告框
家中鞏固建議：完成課後3題練習，重點留意陷阱題
一、熱身啟動題 （5 分鐘）（共 5 題，5 分鐘）
🏆 陷阱獵人·計時挑戰
每題限時90秒！搵出隱藏嘅陷阱，答對+1分，連續答對分數加倍！留意題目中嘅「陷阱關鍵字」— 佢會話你知邊度最易出錯！
⭐ 開始挑戰 →
📦 搬屋公司
一個紙箱長50cm闊40cm高30cm。搬屋公司話可以裝60,000cm³嘅嘢。呢個紙箱夠唔夠大？體積=長×闊×高！| # | 題目 | 難度 | 作答區（寫出完整計算過程） |
|---|---|---|---|
| 1 | 一個長方體，長 8 cm、闊 5 cm、高 3 cm，體積 = ？ | 🌱 基礎 | |
| 2 | 一個正方體，邊長 4 cm，體積 = ？ | 🌱 基礎 | |
| 3 | 1 升 = _____ 立方厘米（cm³） | 🌱 基礎 | |
| 4 | 一個長方體容器，底面積 = 40 cm²，高 20 cm。容器的總容量是多少 cm³？是多少 L？ | 🌱 基礎 | |
| 5 | 一個杯裏有水，放入一粒石子後水面上升了。水面為甚麼會上升？（用「體積」和「空間」解釋） | 🌿 進階 |
二、核心知識精講 （15 分鐘） ＋ 例題練習
知識點一：排水法基礎 — 水面上升的祕密🔴 SSPA 必考
① 排水法原理：當物體完全浸沒在水中時，它會排開相同體積的水 → 水面上升。
② 核心公式：物體體積 = 容器底面積 × 水面上升的高度
③ 水面上升高度 = 物體體積 ÷ 容器底面積
④ 新水高 = 原水高 ＋ 水面上升高度
⑤ 前提條件：物體必須完全浸沒。若物體未完全浸沒，排水法公式不適用！
② 核心公式：物體體積 = 容器底面積 × 水面上升的高度
③ 水面上升高度 = 物體體積 ÷ 容器底面積
④ 新水高 = 原水高 ＋ 水面上升高度
⑤ 前提條件：物體必須完全浸沒。若物體未完全浸沒，排水法公式不適用！
WHY BOX：體積 vs 面積 vs 容量 — 三者有甚麼不同？
面積（Area）：平面有多大 → 單位 cm², m²（二次方）
體積（Volume）：立體佔多少空間 → 單位 cm³, m³（三次方）
容量（Capacity）：容器能裝多少液體 → 單位 mL, L
關係：1 cm³ = 1 mL，1000 cm³ = 1 L
長方體體積 = 長 × 闊 × 高（三個維度相乘 → 三次方單位）
考試陷阱：題目給 cm 但答案要 L？先算 cm³，再 ÷1000 轉 L！
💡 體積應用題：長方體體積=長×闊×高；正方體體積=邊長³。注意單位：1m³=1,000,000cm³。應用題常見：水箱注水/排水、包裝盒問題。
體積（Volume）：立體佔多少空間 → 單位 cm³, m³（三次方）
容量（Capacity）：容器能裝多少液體 → 單位 mL, L
關係：1 cm³ = 1 mL，1000 cm³ = 1 L
長方體體積 = 長 × 闊 × 高（三個維度相乘 → 三次方單位）
考試陷阱：題目給 cm 但答案要 L？先算 cm³，再 ÷1000 轉 L！
💡 體積應用題：長方體體積=長×闊×高；正方體體積=邊長³。注意單位：1m³=1,000,000cm³。應用題常見：水箱注水/排水、包裝盒問題。
🪤 陷阱引爆例題 — 體積 vs 水位高度
例1：一個長方體容器底面積 50 cm²，原有水高 8 cm。放入一塊石頭（完全浸沒）後，水面上升至 11 cm。石頭的體積是多少？
❌ 常見錯誤（60% 學生）
體積 = 11 × 50 = 550 cm³
直接用新水位 × 底面積，沒有計「上升部分」
✅ 正確解法
上升 = 11−8 = 3 cm
體積 = 50 × 3 = 150 cm³
體積 = 50 × 3 = 150 cm³
體積 = 底面積 × 水位「變化」（上升高度）
例題
例2：一個容器底面積 60 cm²，放入一個體積 180 cm³ 的鐵塊（完全浸沒）。水面上升了多少 cm？新水高是多少？（原水高 5 cm）
①
找底面積
長 × 闊
或已知值
或已知值
②
算水位變化
上升=體積÷底面積
下降=取出÷底面積
下降=取出÷底面積
③
算新水位
新=原+上升
新=原−下降
新=原−下降
④
驗證單位
cm³↔mL↔L
一致才計算
一致才計算
🧠 口訣：「物體浸落水，水位就會升。體積等於底面積，乘以上升高——記住係『變化』唔係『總高度』！」
⚠️ 第一高頻錯誤：用新水高 × 底面積當作物體體積。體積 = 底面積 ×（新水位 − 原水位）！
⚠️ 第二高頻錯誤：忘記驗證物體是否完全浸沒。若物體浮起或露出水面，排水法不成立。
知識點一 同步練習（寫出 ①底面積 ②水位變化 ③物體體積）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 6 | 底面積 30 cm²，放入物體後水面上升 5 cm。物體體積 = ？ | 🌱 | |
| 7 | 底面積 45 cm²，原水高 10 cm。放入體積 225 cm³ 的物體後完全浸沒。水面上升多少？新水高多少？ | 🌿 | |
| 8 | 長方體容器長 20 cm、闊 15 cm，原水高 12 cm。放入石頭後水高升至 15 cm。石頭體積 = ？ | 🌿 | |
| 9 | 正方體容器邊長 10 cm，水高 6 cm。放入一個體積 300 cm³ 的金屬塊（完全浸沒）。新水高是多少？ | 🌿 |
知識點二：溢出問題 — 當物體太大，水會滿瀉🔴 SSPA 進階
① 溢出條件：投入物體積 ＞ 容器剩餘空間（空位）。
② 剩餘空間 = 容器總容量 − 原有水的體積。
③ 溢出體積 = 投入物體積 − 剩餘空間。
④ 若投入物體積 ≤ 剩餘空間，則不會溢出，只會令水位上升（回 KP1）。
⑤ 單位換算：1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³。
② 剩餘空間 = 容器總容量 − 原有水的體積。
③ 溢出體積 = 投入物體積 − 剩餘空間。
④ 若投入物體積 ≤ 剩餘空間，則不會溢出，只會令水位上升（回 KP1）。
⑤ 單位換算：1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³。
🪤 陷阱例題
例3：一個容器總容量 2000 cm³，原有水 1800 cm³。放入一塊體積 500 cm³ 的石頭（完全浸沒）。水會溢出嗎？如有，溢出多少 cm³？
例題
例4：一個魚缸容量 50 L，原有水 45 L。放入一個假山，體積 8 L。水會不會溢出？為甚麼？
知識點二 同步練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 10 | 容器容量 3 L，原有水 2.5 L（即 2500 cm³）。放入一個體積 800 cm³ 的物體。(a) 剩餘空間 = ？(b) 會溢出嗎？溢出多少？ | 🌿 | |
| 11 | 容器容量 1000 cm³，原有水 750 cm³。放入一個體積 200 cm³ 的物體。會溢出嗎？ | 🌿 | |
| 12 | 魚缸容量 50 L，原有水 45 L。放入一個體積 3 L 的假山。會溢出嗎？溢出多少 L？ | 🌿 | |
| 13 | 一個正方體容器邊長未知，容量為 2.4 L。原有水 2 L。最多可放入多大體積的物體而不會溢出？（以 cm³ 作答） | 🌳 |
📦 標準長方體容器參考圖
長(l)×闊(w)×高(h)。底面積=l×w。容量=l×w×h。剩餘空間=容量−原有水體積。溢出=投入體積−剩餘空間。
知識點三：不規則物體體積 — 沒有公式的形狀也能量🔴 SSPA 必考
① 不規則物體（如石頭、鎖匙、馬鈴薯）無法用長×闊×高計算體積 → 用排水法。
② 測量步驟：①記錄原水位 ②放入物體（完全浸沒）③記錄新水位 ④體積 = 底面積 ×（新水位 − 原水位）。
③ 量杯/量筒：通常為圓柱形，底面積已知或可計算。水位差即為高度變化。
④ 若物體浮在水面（密度小於水），排水法不適用——需用其他方法（如按壓入水）。
② 測量步驟：①記錄原水位 ②放入物體（完全浸沒）③記錄新水位 ④體積 = 底面積 ×（新水位 − 原水位）。
③ 量杯/量筒：通常為圓柱形，底面積已知或可計算。水位差即為高度變化。
④ 若物體浮在水面（密度小於水），排水法不適用——需用其他方法（如按壓入水）。
例題
例5：量杯底面積 20 cm²，原有水高 15 cm。放入一粒波子（完全浸沒），水高升至 16 cm。波子的體積是多少？
例題
例6：一個長方體水箱底面積 200 cm²，水高 25 cm。放入一塊不規則石頭後，水高升至 28 cm。石頭的體積是多少 cm³？
知識點三 同步練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 14 | 量杯底面積 15 cm²，水高 10 cm → 放入物體後升至 12 cm。物體體積 = ？ | 🌱 | |
| 15 | 長方體水箱底面積 50 cm²，水位由 8 cm 升至 11 cm。投入物體的體積是多少？ | 🌿 | |
| 16 | 量杯底面積 80 cm²，水位由 6 cm 升至 6.5 cm。投入物體的體積 = ？ | 🌿 | |
| 17 | 一個不規則金屬塊放入量杯（底面積 25 cm²），水位由 20 cm 升至 23 cm。(a) 金屬塊體積 = ？(b) 若量杯總高度 25 cm，原有水 20 cm 高，最多可容納多大體積而不溢出？ | 🌳 |
知識點四：綜合應用 — 多步驟容器問題🔴 SSPA 殺手題
① 多物體問題：總投入體積 = 所有物體體積相加。總上升 = 總投入體積 ÷ 底面積。
② 取出物體：水面會下降。下降高度 = 取出物體體積 ÷ 底面積。新水高 = 原水高 − 下降高度。
③ 先入後出：先計算投入後的變化，再計算取出後的變化。按時間順序逐步處理。
④ 兩容器問題：從 A 倒水到 B，倒出的體積 = A 底面積 × A 水位下降 = B 底面積 × B 水位上升。
⑤ 關鍵檢查：每一步都要驗證「有沒有溢出？」和「物體是否完全浸沒？」
② 取出物體：水面會下降。下降高度 = 取出物體體積 ÷ 底面積。新水高 = 原水高 − 下降高度。
③ 先入後出：先計算投入後的變化，再計算取出後的變化。按時間順序逐步處理。
④ 兩容器問題：從 A 倒水到 B，倒出的體積 = A 底面積 × A 水位下降 = B 底面積 × B 水位上升。
⑤ 關鍵檢查：每一步都要驗證「有沒有溢出？」和「物體是否完全浸沒？」
①
理解情境
幾個物體？
放入還是取出？
放入還是取出？
②
列已知項
底面積、原水位
每個物體的體積
每個物體的體積
③
逐步計算
按步驟求水位
變化及新水位
變化及新水位
④
驗證答句
檢查溢出、單位
寫完整答句
寫完整答句
🪤 綜合例題
例7：長方體水箱長 25 cm、闊 16 cm，原有水高 10 cm。先放入一塊體積 800 cm³ 的石頭，再放入一條體積 400 cm³ 的鐵棒（兩者都完全浸沒）。最終水高是多少？
例題
例8：容器底面積 40 cm²，水高 20 cm。從水中取出一塊體積 200 cm³ 的鐵塊（原本完全浸沒）。取出後，水高變成多少？
知識點四 同步練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 18 | 水箱長 20 cm、闊 10 cm，水高 15 cm。放入石頭 600 cm³ 和沙包 400 cm³（均完全浸沒）。最終水高 = ？ | 🌿 | |
| 19 | 容器底面積 50 cm²，水高 12 cm。從水中取出一個體積 250 cm³ 的物體。取出後水高 = ？ | 🌿 | |
| 20 | 魚缸長 40 cm、闊 25 cm，水高 30 cm。(a) 放入一座假山後水高升至 33 cm，假山體積 = ？(b) 魚缸總高度 40 cm，再加入一個體積 3000 cm³ 的裝飾，會溢出嗎？ | 🌳 | |
| 21 | 水箱長 30 cm、闊 20 cm，水高 18 cm。先取出一個體積 600 cm³ 的物體，再放入一個體積 900 cm³ 的新物體。最終水高 = ？ | 🌳 |
💧 排水法進階：多物體與取出
複習：①物體體積=底面積×水位差 ②新水位=原水位+體積÷底面積 ③取出物體→水位下降（下降=體積÷底面積）④多物體→總體積加總後計算
三、課堂分層同步練習 （20 分鐘）
🌱 基礎層（共 5 題，全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 22 | 底面積 25 cm²，原水高 10 cm → 放入物體後升至 14 cm。物體體積 = ？ | 🌱 | |
| 23 | 容器容量 800 cm³，原有水 600 cm³。最多還可放入多大體積的物體而不溢出？ | 🌱 | |
| 24 | 魚缸底面積 200 cm²，水高 15 cm。放入 1000 cm³ 的沙石（完全浸沒）。新水高 = ？ | 🌱 | |
| 25 | 正方體容器邊長 10 cm，水高 8 cm。要把容器全部裝滿，還需加水多少 cm³？ | 🌱 | |
| 26 | 量杯底面積 30 cm²，水位由 12 cm 升至 16 cm。投入物體體積 = ？ | 🌿 |
🌿 進階層（共 4 題，🚶🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 27 | 長方體水箱 30 cm × 20 cm × 25 cm（高），原有水 4000 cm³。放入一個體積 2500 cm³ 的鐵塊（完全浸沒）。水會溢出嗎？溢出多少？ | 🌳 | |
| 28 | 量杯底面積 50 cm²，水高 18 cm。放入三個相同的波子，水高升至 21 cm。每個波子的體積是多少？ | 🌳 | |
| 29 | 一個長方體容器，放入 500 cm³ 的鐵塊後水面上升了 2.5 cm。容器的底面積是多少？ | 🌳 | |
| 30 | 魚缸原有水 40 L，放入假山後水位上升 5 cm。魚缸底面積為 2000 cm²。假山的體積是多少 cm³？是多少 L？ | 🌳 |
🌳 挑戰層（共 3 題，🚀 選做，呈分試殺手題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 31 | 一個長方體水箱長 40 cm、闊 30 cm、高 25 cm，原有水高 15 cm。逐個放入邊長 5 cm 的正方體鐵塊。(a) 放入第一個鐵塊後，水高變多少？(b) 放到第幾個鐵塊時，水開始溢出？ | 🏔️ | |
| 32 | 容器 A（長方體 15 cm × 10 cm）水高 8 cm；容器 B（長方體 20 cm × 10 cm）水高 5 cm。從 A 倒一些水到 B，使得兩容器水位相同。最終兩容器的水高各是多少？（提示：總水量不變，最終水位 = 總水量 ÷ 總底面積） | 🏔️ | |
| 33 | 一個正方體容器，水高 4 cm。放入一塊體積為 800 cm³ 的不規則石頭後（完全浸沒），水高升至 12 cm。(a) 容器的底面積是多少？(b) 容器的邊長是多少？(c) 若再放入一塊體積相同的石頭，水會溢出嗎？（容器高度 15 cm） | 🏔️ |
四、課後功課
基礎必做題（共 5 題，列式 → 計算 → 答句）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| H1 | 容器底面積 35 cm²，水高 6 cm。放入物體完全浸沒後水高升至 9 cm。物體體積 = ？ | 🌱 | |
| H2 | 容器底面積 80 cm²，投入體積 400 cm³ 的物體（完全浸沒）。水面上升了多少 cm？ | 🌱 | |
| H3 | 水箱長 50 cm、闊 20 cm，水高 18 cm。投入一個物體完全浸沒後水高升至 23 cm。物體的體積是多少？ | 🌿 | |
| H4 | 容器容量 1.5 L，原有水 1 L。剩餘空間是多少 cm³？ | 🌱 | |
| H5 | 一塊不規則石頭放入量杯（底面積 32 cm²），水位由 7 cm 升至 11 cm。石頭體積 = ？ | 🌿 |
進階選做題（共 3 題，🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| H6 | 一個正方體容器邊長 15 cm，水高 6 cm。放入一個體積為 1350 cm³ 的鐵塊（完全浸沒）。水會溢出嗎？若溢出，溢出多少 cm³？ | 🌳 | |
| H7 | 水箱底面積 45 cm × 20 cm = 900 cm²，水高 10 cm。先放入石頭 A（體積 800 cm³），再放入石頭 B（體積 600 cm³），兩者均完全浸沒。最終水高 = ？ | 🌳 | |
| H8 | 一個魚缸容量 60 L，原有水 48 L。放入一個假山（體積 20 L，完全浸沒）。(a) 水會溢出嗎？(b) 如有溢出，溢出多少 L？(c) 若要把溢出的水重新倒回魚缸，魚缸會怎樣？ | 🏔️ |
五、本堂核心易錯點總結
✅ 本堂自我檢查（完成後打剔）
☐ 我識得分辦每個知識點嘅陷阱
☐ 我能夠獨立完成🌱基礎題
☐ 我能夠挑戰🌿進階題
☐ 我記得住口訣
🎯 學習目標回顧 — 完成本堂後你應該能夠：
☐ 辨認本堂所有陷阱類型
☐ 獨立解答🌱基礎題（100%正確）
☐ 挑戰🌿進階題（80%+正確）
☐ 向同學解釋本堂口訣
| # | 易錯點 | 正確做法 |
|---|---|---|
| 1 | 混淆體積與水位高度：以新水高 × 底面積當物體體積 | 體積 = 底面積 ×（新水位 − 原水位）= 底面積 × 水位變化 |
| 2 | 忘記檢查是否完全浸沒 | 只有完全浸沒才適用排水法；浮起物體須另外處理 |
| 3 | 單位不統一：cm³ 與 mL 與 L 混用 | 先統一：1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³ |
| 4 | 溢出計算錯誤：忘記先算剩餘空間 | 剩餘空間 = 總容量 − 原有水；溢出 = 投入體積 − 剩餘空間 |
| 5 | 底面積計算錯誤 | 長方體底面積 = 長 × 闊；正方體底面積 = 邊長 × 邊長 |
| 6 | 多物體問題漏加：只計算最後一個物體 | 總投入體積 = 所有物體體積相加；總取出體積同理 |
| 7 | 不寫單位或答句：只寫數字沒有單位 | 體積必須寫 cm³ 或 m³ 或 L；應用題須寫「答：……」 |
🏠 家長角落 · Parent Corner
今日學咗咩？ 小朋友學咗「體積應用題專項」。
最易錯嘅 3 個陷阱： 🪤 T1 體積運算 — 忘記單位轉換 · T4 幾何應用 — 混淆水位上升與物體體積
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「體積應用題專項」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
最易錯嘅 3 個陷阱： 🪤 T1 體積運算 — 忘記單位轉換 · T4 幾何應用 — 混淆水位上升與物體體積
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「體積應用題專項」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
📝 教師參考：熱身題答案 → 1)___ 2)___ 3)___ 4)___ 5)___ | 課堂練習重點關注題號：🌳挑戰層 17-21
🪤 霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱。 · LF-P5-下-L25 v2
📚 相關課題：L25 體積應用題 · L26 體積概念 · L27 複合立體排水法
🖨️ Ctrl+P 列印 PDF | 5頁 · 51題 | LF-P5-下-L25 v2
答案參考（做完先睇！）
📝 答案快查
| # | 題目 | 答案 |
|---|---|---|
| 1 | 一個長方體，長 8 cm、闊 5 cm、高 3 cm，體積 = ？ | 問老師 |
| 2 | 一個正方體，邊長 4 cm，體積 = ？ | 問老師 |
| 3 | 1 升 = _____ 立方厘米（cm³） | 問老師 |
| 4 | 一個長方體容器，底面積 = 40 cm²，高 20 cm。容器的總容量是多少 cm³？是多少 L？ | 問老師 |
| 5 | 一個杯裏有水，放入一粒石子後水面上升了。水面為甚麼會上升？（用「體積」和「空間」解釋） | 問老師 |
⚠️ 請先自己完成練習，再查答案！🟢=自動計算 🟡=請向老師確認
📝 智能補充練習
🎯 AI自動生成 · 課外延伸練習
| # | 題目 | 答案 |
|---|---|---|
| 1 | 長10闊6高7，體積？ | 420 |
| 2 | 長11闊3高10，體積？ | 330 |
| 3 | 長12闊9高7，體積？ | 756 |
🚨 P5 進階陷阱卡 — 必避！
陷阱 1⚠ 高危錯誤
❌ 錯誤：一個長方體水箱長50厘米，闊30厘米，高40厘米，內有水深15厘米。現放入一塊體積為6000立方厘米的石頭，問水位上升多少厘米？
錯誤做法：6000 ÷ (50×30) = 4厘米，所以水位上升4厘米。
🤔 為何會錯：忽略了石頭可能完全浸沒在水中的條件，但水位上升的高度必須考慮石頭是否佔用了水箱的空間。如果石頭密度小於水或形狀不規則，可能不完全浸沒，但此題假設完全浸沒。更常見的錯誤是：學生直接將石頭體積除以底面積，卻忘記了水箱原有水深可能不足以完全淹沒石頭，導致計算出的水位上升超過水箱剩餘高度，但本題原水深15厘米，水箱高40厘米，剩餘高度25厘米，4厘米上升合理。然而真正的陷阱在於：有些學生會錯誤地用總體積除以底面積來求新水深，然後減去原水深，但若石頭體積很大，新水深可能超過水箱高度，此時水位上升應為水箱高度減原水深（即水溢出），而不是計算出的上升值。
✅ 正確：先計算水箱的底面積：50×30=1500平方厘米。
石頭體積6000立方厘米，完全浸沒時，水位上升高度 = 石頭體積 ÷ 底面積 = 6000 ÷ 1500 = 4厘米。
檢查：原水深15厘米，上升後水深19厘米，未超過水箱高度40厘米，所以答案為4厘米。
若石頭體積更大，例如體積為45000立方厘米，則上升高度計算為45000÷1500=30厘米，但原水深15厘米，新水深45厘米超過40厘米，實際水位只會升到40厘米，上升高度為40-15=25厘米，多餘的水溢出。
💡 ⚠️ 陷阱關鍵：計算水位上升時，必須核對新水深是否超過容器高度。若超過，實際上升高度 = 容器高度 - 原水深（水會溢出），而不是用體積除以底面積的結果。
陷阱 2⚠ 高危錯誤
❌ 錯誤：一個正方體容器邊長20厘米，裝滿水。現將一個長10厘米、闊10厘米、高30厘米的長方體鐵柱垂直放入容器中，問溢出多少水？
錯誤做法：鐵柱體積 = 10×10×30 = 3000立方厘米，所以溢出3000立方厘米水。
🤔 為何會錯：鐵柱高度30厘米，但容器高度只有20厘米，鐵柱無法完全浸入水中，只有浸入水中的部分才會排開水。學生常忽略容器高度限制，誤以為整個鐵柱都會排開水。
✅ 正確：容器邊長20厘米，裝滿水，水深20厘米。
鐵柱垂直放入，其高度30厘米大於容器高度，因此只有部分浸入水中，浸入深度最多20厘米（容器高度）。
浸入水中的鐵柱體積 = 10×10×20 = 2000立方厘米。
溢出水的體積等於浸入水中的鐵柱體積，即2000立方厘米。
💡 ⚠️ 陷阱關鍵：放入物體的高度若超過容器高度，只有浸入水中的部分才會排開水。計算時需取容器高度與物體高度的較小值作為浸沒深度。
🏆 P5 進階挑戰題（P6預備） 進階級
挑戰題 16 分 · 進階級
一個長方體魚缸，長80厘米，闊40厘米，高50厘米，內有水深30厘米。小明放入一塊不規則石頭後，水位上升到38厘米。之後他再放入一條體積為2400立方厘米的假珊瑚，假珊瑚完全浸沒。問：(a) 石頭的體積是多少？(b) 放入假珊瑚後，水位會再上升多少厘米？(c) 最終魚缸內的水會溢出嗎？試解釋。
答案：(a) 25600立方厘米 (b) 0.75厘米 (c) 不會溢出，因為最終水深38.75厘米，低於魚缸高度50厘米。
解題：解題步驟： (a) 石頭體積 = 水位上升部分體積 = 底面積 × 水位上升高度 底面積 = 80 × 40 = 3200平方厘米 水位上升高度 = 38 - 30 = 8厘米 石頭體積 = 3200 × 8 = 25600立方厘米 (b) 假珊瑚體積 = 2400立方厘米 水位再上升高度 = 假珊瑚體積 ÷ 底面積 = 2400 ÷ 3200 = 0.75厘米 (c) 最終水深 = 38 + 0.75 = 38.75厘米 魚缸高度 = 50厘米 38.75 < 50，所以水不會溢出。 (答案需附單位，解釋合理即可)
解題：解題步驟： (a) 石頭體積 = 水位上升部分體積 = 底面積 × 水位上升高度 底面積 = 80 × 40 = 3200平方厘米 水位上升高度 = 38 - 30 = 8厘米 石頭體積 = 3200 × 8 = 25600立方厘米 (b) 假珊瑚體積 = 2400立方厘米 水位再上升高度 = 假珊瑚體積 ÷ 底面積 = 2400 ÷ 3200 = 0.75厘米 (c) 最終水深 = 38 + 0.75 = 38.75厘米 魚缸高度 = 50厘米 38.75 < 50，所以水不會溢出。 (答案需附單位，解釋合理即可)
挑戰題 25 分 · 進階級
一個內直徑為28厘米的圓柱形水桶（圓周率用22/7），裝有一些水。小明放入一個體積為12320立方厘米的鐵塊，鐵塊完全浸沒，水位上升了20厘米。之後他取出鐵塊，再放入一個長20厘米、闊14厘米、高30厘米的長方體金屬塊，金屬塊直立放入時，只有部分浸沒，露出水面的高度為5厘米。問：(a) 圓柱形水桶的底面積是多少？(b) 長方體金屬塊的體積是多少？(c) 放入長方體金屬塊後，水桶內的水位上升了多少厘米？
答案：(a) 616平方厘米 (b) 8400立方厘米 (c) 15厘米
解題：解題步驟： (a) 鐵塊體積 = 底面積 × 水位上升高度 12320 = 底面積 × 20 底面積 = 12320 ÷ 20 = 616平方厘米 (b) 長方體金屬塊體積 = 20 × 14 × 30 = 8400立方厘米 (c) 金屬塊直立放入，露出水面5厘米，即浸入水中高度 = 30 - 5 = 25厘米 浸入水中的體積 = 20 × 14 × 25 = 7000立方厘米 水位上升高度 = 浸入體積 ÷ 水桶底面積 = 7000 ÷ 616 = 11.3636... ≈ 11.36厘米（取小數點後兩位） 注意：此題若要求精確分數，7000/616 = 875/77 = 125/11 ≈ 11.3636厘米。 (若題目無特別要求，可四捨五入至兩位小數或保留分數)
解題：解題步驟： (a) 鐵塊體積 = 底面積 × 水位上升高度 12320 = 底面積 × 20 底面積 = 12320 ÷ 20 = 616平方厘米 (b) 長方體金屬塊體積 = 20 × 14 × 30 = 8400立方厘米 (c) 金屬塊直立放入，露出水面5厘米，即浸入水中高度 = 30 - 5 = 25厘米 浸入水中的體積 = 20 × 14 × 25 = 7000立方厘米 水位上升高度 = 浸入體積 ÷ 水桶底面積 = 7000 ÷ 616 = 11.3636... ≈ 11.36厘米（取小數點後兩位） 注意：此題若要求精確分數，7000/616 = 875/77 = 125/11 ≈ 11.3636厘米。 (若題目無特別要求，可四捨五入至兩位小數或保留分數)
🧠 高階思維提示：🔍 高階思維提示：在體積應用題中，當容器內已有水，再放入物體時，要考慮「排開水的體積」是否等於「物體浸入水中的體積」。若物體完全浸沒，排開水體積等於物體體積；若物體部分浸沒，排開水體積只等於浸入部分的體積。另外，若容器裝滿水，放入物體後溢出的水體積等於排開水的體積。但若容器未滿，則水位上升的體積等於排開水的體積。切記：物體密度、形狀不影響排開水體積，只有「浸入水中的體積」才是關鍵。遇到複雜情境時，先畫圖標示水位、物體位置，再逐步計算。