霖楓學苑 · LF Academy
小五 · 第 33 堂 · 學生版講義
綜合：方程 ＋ 數據 ＋ 應用題
跨單元綜合複習 · T3 方程 × T7 應用題 × T10 統計數據 · 65 分鐘
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》5下B冊 單元三＋七＋十 ＋ 現代教育 5下B 綜合練習
核心陷阱：🪴 T3 方程—列式時等號兩邊不對等 · T7 應用題—審題跳步驟 · T10 數據—讀圖錯誤
SSPA 關聯：🔴 極高頻 呈分試卷二跨單元綜合題，佔分約 12-18%
前置知識：堂14-15（代數式＋簡易方程）、堂21-31（數據處理＋棒形圖）、堂7-10（分數運算）
本堂目標：❶ 從圖表數據中建立方程 ❷ 用方程解決數據分析問題 ❸ 跨單元綜合應用
學生姓名：
班級：
日期：
完成時長：
家長30秒摘要
本堂重點：
陷阱破解掌握關鍵概念呈分試關聯香港課程
學完本堂，小朋友將能夠：① 識別本課陷阱 ② 正確解題 ③ 應用口訣
常見錯誤：請留意講義中的警告框
家中鞏固建議：完成課後3題練習，重點留意陷阱題
一、熱身啟動題 （5 分鐘）（共 6 題，5 分鐘）
🏆 陷阱獵人·計時挑戰
每題限時90秒！搵出隱藏嘅陷阱，答對+1分，連續答對分數加倍！留意題目中嘅「陷阱關鍵字」— 佢會話你知邊度最易出錯！
⭐ 開始挑戰 →
⚖️ 街市買餸大冒險
媽媽去街市買3斤菜+2斤肉=，菜/斤。肉幾錢斤？用代數列方程，設肉價為x：3×10+2x=100，解x=35！
一個Pizza切咗8份。小明食咗3份，小華食咗2份。佢哋一共食咗幾多個Pizza？等我哋用分數加法計吓！記住口訣：分母不變，分子相加！
Pizza分著食 —「一個Pizza切8份，食咗3份，即係食咗3/8個！」
| # | 題目 | 難度 | 作答區（寫出完整計算過程） |
|---|
| 1 | 解方程：x + 28 = 75 x = ？ | 🌱 基礎 | |
| 2 | 解方程：5y = 120 y = ？ | 🌱 基礎 | |
| 3 | 下圖棒形圖中，A棒高度 = 15，B棒高度 = 12。A比B高多少？A的高度是B的多少倍？
（假設每格 = 3 單位） | 🌱 基礎 | |
| 4 | 一個數的 3 倍加 12 等於 45。設該數為 n，列出方程。 | 🌿 進階 | |
| 5 | 下表為兩日銷售額。如果兩日總銷售額為 750 元，第二天賣了多少元？
| 🌿 進階 | |
| 6 | 根據下方參考圖表：甲店的銷量比乙店的多 45。如果乙店銷量為 b，寫出甲店銷量的代數式。 | 🌿 進階 | |
📊 參考圖表：圖書館季度借書統計複合棒形圖
▲ 以上為本堂主要參考圖表（圖書館借書統計），大部分例題以此數據為基礎
📊 數據分析參考圖表 — 方程應用
棒形圖：比較不同類別
折線圖：追蹤變化趨勢
▲ 本堂練習：用方程解決數據分析問題。例如：「A店比B店多賣多少？」→ 設未知數→列方程→解題。
二、核心知識精講 （15 分鐘） ＋ 例題練習
知識點一：從圖表數據建立方程🔴 SSPA 核心
從圖表到方程的四步法：
❶ 讀圖表：從棒形圖／數據表中提取已知數值（數字＋單位）
❷ 設未知數：把要求的（或缺失的）數量設成變數（如 x, y, n）
❸ 找等量關係：題目中的「共」「相差」「幾倍」「平均」→ 轉成等式
❹ 列方程：用已知數＋變數寫出完整方程，確保等號兩邊意義相等
WHY BOX：解方程的「天秤原理」
方程就像一個天秤：等號兩邊必須保持平衡。
3x + 5 = 20
→ 兩邊 -5：3x = 15
→ 兩邊 ÷3：x = 5 ✅
核心原則：對一邊做的任何運算，另一邊也要做同樣的運算。
加減乘除都可以，只要兩邊一起做！
常見陷阱：2(x + 3) = 14
→ 有些學生會寫成 2x + 3 = 14 ❌
→ 正確：2x + 6 = 14，然後 x = 4 ✅
記住：括號內的每一項都要乘！
💡 四則應用題三步：1)搵出數學關係（邊個數同邊個運算有關）；2)寫出算式（可分段列式）；3)驗算答案是否合理。畫圖/列表幫手組織信息！
💡 四則應用題三步：1)搵出數學關係（邊個數同邊個運算有關）；2)寫出算式（可分段列式）；3)驗算答案是否合理。畫圖/列表幫手組織信息！
🪴 陷阱引爆例題（本堂最重要的示範）
根據參考圖表：已知甲館一月的小說借書量為 115 本，非小說為 90 本。如果一月甲館的總借書量比乙館總借書量多 20 本，乙館一月總借書量為多少？設未知數並列方程。
❌ 常見錯誤（方程方向反轉）
設乙館總量 = y
y + 20 = 115 + 90
→ y = 185（錯誤：這是甲館總量）
誤把「甲比乙多 20」寫成「y + 20 = 甲」，應是「甲 = y + 20」或「甲 − y = 20」
✅ 正確解法
甲館一月總量 = 115 + 90 = 205
設乙館一月總量 = y
205 − y = 20 → y = 185
或：205 = y + 20 → y = 185
「甲比乙多 20」→ 甲 − 乙 = 20 → 205 − y = 20
🧠 口訣：「讀圖取數、設未知數、找關係寫等式、解方程驗答案、帶回原題查單位」
⚠️ 最高頻錯誤：「A比B多」寫成「B + n = A」是對的，但很多學生寫反變成「A + n = B」！
⚠️ 第二高頻錯誤：從圖表取數時看錯棒（不看圖例），導致方程中的已知數一開始就錯！
知識點一 例題練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 例1 | 根據參考圖表：一月甲館小說 115 本、乙館小說 140 本。設一月兩館小說的總借書量為 T，寫出 T 的表達式並計算 T。 | 🌱 | |
| 例2 | 根據參考圖表：三月甲館小說比非小說多 30 本。設甲館三月非小說借書量為 n，利用已知的小說借書量（165本）列出方程。 | 🌿 | |
知識點一 同步練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 7 | 根據參考圖表：二月乙館小說 155 本、非小說 115 本。設乙館二月總借書量為 S，寫出 S 的表達式並計算。 | 🌱 | |
| 8 | 根據參考圖表：一月甲館總借書量為 205 本。如果乙館一月總量比甲館少 20 本，設乙館一月總量為 y，列出方程並求解。 | 🌿 | |
| 9 | 根據參考圖表：三月甲館小說（165本）是乙館非小說（145本）的多少倍？如果倍數設為 k，列出方程。 | 🌿 | |
| 10 | 下表是兩店銷售額。已知總銷售額為 850 元。如果 A店銷售額比 B店多 130 元，設 B店銷售額 = b，求 b。
| 🌳 | |
| 11 | 根據參考圖表：一月和二月甲館小說借書量的總和，比三月甲館小說借書量多還是少？相差多少？設相差量為 d，寫出方程。 | 🌳 | |
知識點二：用方程解決數據問題🔴 SSPA 必考
方程解數據問題的完整流程：
❶ 提取數據：從圖表／表格中找出所有已知數字
❷ 設未知數：把問題要你求的數量設為變數
❸ 建方程：根據題目中的關係詞（共、差、倍、平均、餘下…），用已知數和變數寫等式
❹ 解方程：運用天平原理（等號兩邊做相同運算）求出變數
❺ 驗算＋答句：代入原題檢查是否合理，寫完整答句
例題
例3：根據參考圖表，甲館三個月（一至三月）的小說總借書量 = 115 + 130 + 165 = 410 本。如果甲館小說三月借書量是某數 x 的 3 倍加 15，求 x。
例題
例4：下表是測驗分數。已知四人的平均分是 80，求小美的分數 m。
⚠️ 方程陷阱：方程兩邊做運算時，必須「兩邊同時做相同運算」，否則等式不成立！
⚠️ 平均數陷阱：平均 = 總和 ÷ 個數，列方程時常忘記乘回個數。平均分 80 四人 → 總和 = 80 × 4！
知識點二 同步練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 12 | 根據參考圖表：乙館三個月非小說總借書量 = 105 + 115 + 145 = 365 本。若三月乙館小說（180本）比非小說多 x 本，求 x。 | 🌱 | |
| 13 | 根據參考圖表：甲館一月非小說（90本）是乙館一月非小說（105本）的幾分之幾？寫出分數並約簡。 | 🌿 | |
| 14 | 一個數的 4 倍減去 28 等於甲館二月小說借書量（130）。設該數為 n，列出方程並求解。 | 🌿 | |
| 15 | 根據參考圖表：一月兩館小說的總和為 255 本。若二月兩館小說總和比一月少 n 本，且二月兩館小說總和 = 130 + 155 = 285 本，求 n。 | 🌿 | |
| 16 | 下表為三個月的總借書量。已知三個月的平均總借書量為 540 本。設二月總量為 F，列出方程並求解。
| 🌳 | |
進階數據方程練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 17 | 一本書原價 $p。書店做八折優惠（即售價 = 原價 × 0.8）。小明買了 3 本，共付了 $192。求原價 p。（提示：3 × 0.8p = 192） | 🌳 | |
| 18 | 根據參考圖表：設二月乙館非小說（115本）為 y。如果 y 是某個月甲館小說的 0.7 倍少 5，判斷該數值最接近哪個月甲館小說借書量？（115 ÷ 0.7 ≈ 164.3） | 🌳 | |
知識點三：綜合應用 — 方程 ＋ 數據 ＋ 文字題🔴 SSPA 殺手題
跨單元綜合題的解題框架：
❶ 第一步：審題 — 圈出所有數字、單位、關鍵詞（「共」「差」「倍」「平均」「餘下」）
❷ 第二步：提取 — 從圖表提取數據，從文字提取條件
❸ 第三步：建模 — 設未知數，把條件轉成方程／代數式
❹ 第四步：求解 — 解方程，得出數值
❺ 第五步：延伸 — 有些題目需要把解出的數值再做計算（如求比例、百分數、比較大小）
例題
例5：根據參考圖表，甲館三個月小說總量為 410。把這個數加上乙館三個月小說總量（140 + 155 + 180），再除以 6，得出兩館小說月平均借書量（三個月）。求這個平均值。
例題
例6：小文統計了過去四個月圖書館借書人數：
120 → 比上月多 30 → 150 → 比上月少 20
已知第一個月 = 120，第二個月 = 120 + 30 = 150，第三個月 = 150，問第四個月多少人？四個月總人數是多少？
知識點三 同步練習
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 19 | 根據參考圖表：三月兩館非小說合共 = 135 + 145 = 280 本。如果這個數量等於「某數 n 的 5 倍加 30」，列出方程並求 n。 | 🌿 | |
| 20 | 根據參考圖表：一月總借書量（全部四條棒）比二月總借書量多還是少？用方程形式表達：設一月總量 = A，二月總量 = B，計算 B − A。 | 🌳 | |
| 21 | 如果三月乙館小說的 180 本中，13 是新書，其餘是舊書。新書有多少本？舊書有多少本？ | 🌿 | |
| 22 | 學校統計了三個月遲到人數：
九月：a 人 十月：比九月多 12 人 十一月：比十月少 8 人
(a) 寫出十月和十一月人數的代數式
(b) 若三個月總遲到人數為 130 人，求 a | 🌳 | |
三、課堂分層同步練習 （20 分鐘）
🌱 基礎層（共 4 題，全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 23 | 根據參考圖表：一月甲館總借書量（小說＋非小說）是多少本？ | 🌱 | |
| 24 | 解方程：x + 55 = 205（提示：205 = 一月甲館總借書量） | 🌱 | |
| 25 | 根據參考圖表：二月乙館小說比甲館小說多幾本？設相差為 d。 | 🌱 | |
| 26 | 根據參考圖表：哪個月甲館小說借書量最高？是多少本？ | 🌱 | |
🌿 進階層（共 4 題，🚶🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 27 | 根據參考圖表：三月兩館總借書量（四條棒全加）為多少？設總量 = T，計算 T。 | 🌿 | |
| 28 | 兩數之和為 72，兩數之差為 18。設較小的數為 x，較大的數為 x + 18。列出方程求兩數。 | 🌳 | |
| 29 | 根據參考圖表：如果把甲館三月小說（165本）和乙館三月小說（180本）加起來，再除以 3，結果是多少？用綜合式計算。 | 🌿 | |
| 30 | 根據參考圖表數據，完成下表並計算每館三個月的非小說總借書量：
| 一月 | 二月 | 三月 |
|---|
| 甲館非小說 | 90 | 100 | 135 | | 乙館非小說 | 105 | 115 | 145 |
哪間館的非小說總量較高？寫出方程表示相差。 | 🌿 | |
🌳 挑戰層（共 3 題，🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 31 | 下表缺失一個數據。已知 A、B 兩項總和為 240，B 比 A 多 40。求 A 和 B。
（提示：設 A = a，則 B = a + 40 → 2a + 40 = 240） | 🌳 | |
| 32 | 承上題：如果還知道「C 是 A 的 2 倍少 10」，且 A、B、C 三項總和為 430，求 C。 | 🏔️ | |
| 33 | 根據參考圖表所有數據（12個數值），回答：
(a) 全部借書總量中，小說類佔了幾分之幾？（約簡）
(b) 如果把三月數據抽出，三月小說總量：三月非小說總量 = ? : ?（以最簡整數比表示） | 🏔️ | |
四、綜合應用題（方程＋數據＋應用，全部必做）
應用題專項（列式 → 方程 → 求解 → 驗算 → 答句）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 34 | 小美儲蓄了 x 元，小華比她多儲 45 元。兩人合共儲了 285 元。小美儲了多少元？ | 🌿 | |
| 35 | 一個長方形的長比闊多 8 cm。周界是 64 cm。設闊為 w cm。
(a) 以 w 表示長
(b) 列出周界方程
(c) 求長和闊各是多少 cm？ | 🌳 | |
| 36 | 下表為三次測驗分數：
已知三次平均分為 80。求 m（第二次分數）和第三次分數。 | 🌳 | |
| 37 | 文具店賣鉛筆和原子筆。鉛筆每支 $3，原子筆每支 $5。小明買了鉛筆和原子筆共 20 支，總共付了 $76。設鉛筆買了 p 支。
(a) 原子筆買了幾支？（以 p 表示）(b) 列出總金額方程 (c) 求 p。 | 🏔️ | |
| 38 | 少年宮入場費：成人 $30，學生 $15。某日共賣出 200 張票，總收入 $4500。設學生票賣了 s 張。
(a) 成人票賣了多少張？（以 s 表示）(b) 列出總收入方程 (c) 求成人票和學生票各賣多少張？ | 🏔️ | |
五、課後功課 （課後完成）
基礎必做題（共 4 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H1 | 根據參考圖表：一月甲館非小說借書量 = 90。設該月乙館非小說 = n。如果 n 比 90 多 15，列出方程求 n，並核對圖表數值。 | 🌱 | |
| H2 | 根據參考圖表：計算二月甲館和乙館小說的總和。 | 🌱 | |
| H3 | 解方程：240 − x = 95（提示：x = 甲館一月非小說和乙館一月非小說的差） | 🌱 | |
| H4 | 爸爸的年齡是兒子的 3 倍。兩人年齡之和為 52。設兒子年齡為 n，求兩人年齡各多少？ | 🌿 | |
進階選做題（共 4 題，🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H5 | 根據參考圖表：三個月甲館小說總量（115+130+165=410）和乙館小說總量（140+155+180=475）。設乙館小說比甲館多出的數量為 d，列出方程求 d。如果甲館要在下季追平差距，平均每月要比乙館多借多少本小說？（設為 x） | 🌳 | |
| H6 | 一個數列：第一個數 = 35，之後每個數比前一個大 8。設第 n 個數的值為 35 + 8(n − 1)。求第 5 個數的值。如果第 k 個數 = 99，求 k。 | 🌳 | |
| H7 | 超級市場飲品銷量統計（箱）：
已知本星期總銷量比上星期多 30 箱。求 x 和本星期汽水、茶的銷量。 | 🌳 | |
| H8 | 三本書價錢：A 書比 B 書貴 $15。B 書比 C 書貴 $10。三本書合共 $215。設 C 書價錢為 c。
(a) 以 c 表示 B 書和 A 書的價錢
(b) 列出總價方程
(c) 求三本書各自的價錢 | 🏔️ | |
六、🏔️ 終極挑戰專區
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 🏔1 | 學校運動會統計：
| 跑步 | 跳遠 | 擲壘球 |
|---|
| 男生(人) | a | b | a−5 | | 女生(人) | b−10 | a+5 | b+8 |
已知：跑步總人數 = 70，跳遠總人數 = 75。
(a) 列出兩個方程 (b) 求 a 和 b (c) 求擲壘球的總人數 | 🏔️ | |
| 🏔2 | 根據參考圖表所有數據，重組一個總數據表，並計算：
(a) 三個月所有小說總借書量
(b) 三個月所有非小說總借書量
(c) 小說總量是非小說總量的多少倍？（答案以小數表示，取至一位小數）
(d) 如果要令小說和非小說總量相等，需要再借多少本非小說？（設為 z） | 🏔️ | |
七、本堂核心易錯點總結
✅ 本堂自我檢查（完成後打剔）
☐ 我識得分辦每個知識點嘅陷阱
☐ 我能夠獨立完成🌱基礎題
☐ 我能夠挑戰🌿進階題
☐ 我記得住口訣
🎯 學習目標回顧 — 完成本堂後你應該能夠：
☐ 辨認本堂所有陷阱類型
☐ 獨立解答🌱基礎題（100%正確）
☐ 挑戰🌿進階題（80%+正確）
☐ 向同學解釋本堂口訣
| # | 易錯點 | 正確做法 |
|---|
| 1 | 「A比B多」方程寫反：把「A = B + 差」寫成「B = A + 差」 | 用數字測試：10比7多3 → 10 = 7 + 3 → 大數 = 小數 + 差 |
| 2 | 平均數方程漏乘：平均 = 總和 ÷ 個數 → 總和 = 平均 × 個數 | 列方程時：已知平均求總和，必定先乘個數 |
| 3 | 從圖表取錯數：不看圖例、看錯月份、看錯棒 | 三步確認：圖例 → 月份 → 花紋 → 才讀刻度 |
| 4 | 方程兩邊運算不對等：一邊加、另一邊不加 | 天平原理：兩邊同時做完全相同的運算 |
| 5 | 代數式括號處理錯誤：例如 3(x + 8) 只乘 3x 忘記乘 3×8 | 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac，每項都要乘 |
| 6 | 解題時單位不一致：圖表用「本」、題目用「冊」，或元/角的換算錯誤 | 統一單位後才列方程；答句要寫對單位 |
| 7 | 遺漏驗算步驟：解出 x 後不代入檢查 | 把 x 代入原方程兩邊，確認左邊 = 右邊才寫答案 |
🏠 家長角落 · Parent Corner
今日學咗咩？ 小朋友學咗「綜合：方程 ＋ 數據 ＋ 應用題」。
最易錯嘅 3 個陷阱： 🪴 T3 方程—列式時等號兩邊不對等 · T7 應用題—審題跳步驟 · T10 數據—讀圖錯誤
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「綜合：方程 ＋ 數據 ＋ 應用題」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
📝 教師參考：熱身題答案 → 1)___ 2)___ 3)___ 4)___ 5)___ | 課堂練習重點關注題號：🌳挑戰層 17-21
🪴 霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱。 · LF-P5-下-L33
📚 相關課題：L14 代數式認識 · L15 方程應用題 · L31 代數式進階
🏆 P5 進階挑戰題（P6預備） 進階級
挑戰題 16 分 · 進階級
小明和小紅共有圖書120本。如果小明給小紅15本，則小明的圖書數量是小紅的2倍。問原來小明和小紅各有多少本圖書？
答案：小明原有95本，小紅原有25本。
解題：設小明原有x本，則小紅有(120 - x)本。
小明給小紅15本後：小明有x - 15本，小紅有(120 - x) + 15 = 135 - x本。
根據題意：x - 15 = 2(135 - x)
解方程：x - 15 = 270 - 2x
x + 2x = 270 + 15
3x = 285
x = 95
小紅原有120 - 95 = 25本。
驗算：給書後小明95-15=80，小紅25+15=40，80是40的2倍，正確。
挑戰題 25 分 · 進階級
下表是五年級某班20名學生的數學測驗分數（滿分100分）：
65, 72, 78, 78, 80, 82, 85, 85, 85, 88, 90, 90, 92, 92, 92, 95, 95, 98, 100, 100
(a) 求這組數據的平均數（取整數位）。
(b) 求中位數和眾數。
(c) 如果老師將最低分數的學生加5分，新的平均數會變成多少？
答案：(a) 平均數 = 85分 (b) 中位數 = 89分，眾數 = 85分和92分 (c) 新平均數約為85.25分
解題：(a) 總分 = 65+72+78+78+80+82+85+85+85+88+90+90+92+92+92+95+95+98+100+100 = 計算：
65+72=137, +78=215, +78=293, +80=373, +82=455, +85=540, +85=625, +85=710, +88=798, +90=888, +90=978, +92=1070, +92=1162, +92=1254, +95=1349, +95=1444, +98=1542, +100=1642, +100=1742。
平均數 = 1742 ÷ 20 = 87.1，取整數為87分。
(b) 數據已排序，共20個數，中位數是第10和第11個數的平均：第10個=88，第11個=90，中位數=(88+90)/2=89分。眾數：85出現3次，92出現3次，所以眾數為85和92（雙眾數）。
(c) 最低分65加5分變70，總分增加5，新總分=1742+5=1747，新平均數=1747÷20=87.35，約87.35分。
