霖楓學苑 · LF Academy
小六 · 第 23 堂 · 學生版講義
百分數應用進階：利潤、虧損、折扣
盈利 · 虧損 · 折扣 · 連續折扣 · 65 分鐘 · 一對三線上課程
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》6B冊 單元一 ＋ 現代教育 6B 單元1
SSPA 關聯：🔴 必考 呈分試卷二應用題每年必出利潤/折扣題，佔約 8-12%
前置知識：P6上 L04-L05 百分數基礎（佔比求原值、增減變化）
本堂目標：❶ 盈利/虧損計算（成本vs售價） ❷ 利潤率=利潤÷成本×100% ❸ 折扣計算 ❹ 連續折扣的基準變化
核心陷阱：🪤 T15 利潤%基準是成本不是售價 · 折扣%同減價%混淆 · 連續折扣基準變化
📋 家長30秒摘要
我們今日教了百分數應用進階，包括利潤、虧損及折扣計算。學完後孩子能掌握「成本、售價與盈利/虧損」的關係，並懂計算打折後的價錢。建議在家用超市收據或網購優惠，讓孩子實際計算折扣金額及利潤百分率，鞏固概念。
學生姓名：班級：日期：完成時長：
🏆 🏪 精明消費者·限時計價
每題限時60秒！睇商品原價同折扣標籤，計出最終售價。連續答對3題升級「精明消費者」，答錯要重頭開始！
⭐ 開始挑戰 →
一、熱身啟動題（共 5 題，5 分鐘）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 1 | 一件貨品成本 $50，售價 $60。賺咗幾多？賺率=？ | 🌱 | |
| 2 | 一件貨品成本 $80，售價 $64。蝕咗幾多？蝕率=？ | 🌱 | |
| 3 | 一件衫標價 $200，打九折。售價=？ | 🌱 | |
| 4 | 成本 $100，加價 30% 做標價。標價=？ | 🌿 | |
| 5 | 判斷對錯：「加價 10% 再減價 10% = 原價」 | 🌿 | |
二、核心知識精講 ＋ 例題練習
知識點一：盈利與虧損 🔴 SSPA
① 盈利 = 售價 − 成本（售價 > 成本）
② 虧損 = 成本 − 售價（售價 < 成本）
③ 盈利% = 盈利 ÷ 成本 × 100%
④ 虧損% = 虧損 ÷ 成本 × 100%
⑤ ⚠️ 注意：% 永遠以成本做分母！
⑥ 口訣：「利潤率 = 利潤 ÷ 成本 × 100%，記住分母係成本！」
WHY BOX：點解要學百分數應用？
📊 日常生活中無所不在：商場折扣、銀行利息、股票升跌、考試分數全部都係百分數！
🎯 SSPA 必考：呈分試每年都考折扣/盈利/虧損計算，佔分8-12%
🧠 中學銜接：中一立即要學percent change、simple interest，小六打好基礎好重要！
WHY BOX：百分數的本質是甚麼？
百分數 = 以 100 為分母的分數
12% = \(\frac{12}{100}\) = 0.12
為甚麼加價 20% 再八折 ≠ 原價？
加價 20%：原價 × 1.2
再八折：原價 × 1.2 × 0.8 = 原價 × 0.96
→ 最終是原價的 96%，便宜了 4%！
關鍵陷阱：百分數的「基準」一直在變。加價後的 20% 和原價的 20% 是不同的數！
記住：每次百分數運算，先問自己「這個百分數是對誰計算的？」
💡 利潤虧損萬能公式：利潤率=利潤÷成本×100%；售價=成本×(1+利潤率)；折扣價=原價×折扣%。注意：利潤率基準係成本，折扣基準係原價！
知識點二：折扣計算 🔴 SSPA
① 折扣 = 原價 × 折扣%
② 售價 = 原價 − 折扣 = 原價 × (1 − 折扣%)
③ 八折 = 80% = ×0.8
④ 八五折 = 85% = ×0.85
⑤ 「減價 20%」=「打八折」= ×0.8
知識點三：連續折扣（基準變化陷阱！） 🔴 SSPA
① 連續折扣 ≠ 加埋！每次折扣用當時嘅價做基準
② 例：$800 先減 10% → $720 → 再減 5% → $684
③ 總折扣 = 800 − 684 = $116
④ 總折扣% = 116 ÷ 800 × 100% = 14.5%
⑤ ⚠️ 絕對唔係 10% + 5% = 15%！
⑥ 口訣：「加減百分比，基準次次變，加完再減唔還原！」
例1
成本 $250，售價 $300。盈利% = ？
盈利 = 300 − 250 = $50
盈利% = 50 ÷ 250 × 100% = 20% ✅
常見錯誤：50 ÷ 300 × 100% ≈ 16.7% ❌（用咗售價做分母！）
例2
標價 $500，打七五折。售價=？
售價 = 500 × 0.75 = $375 ✅
常見錯誤：500 × 75 = 37500 ❌（% 要轉小數！）
例3
一件貨品標價 $800，先減 10%，再減 5%。最終售價=？
第一次：800 × 0.9 = $720
第二次：720 × 0.95 = $684
總折扣% = (800−684) ÷ 800 × 100% = 14.5%
❌ 陷阱引爆
賺 20% = 售價 = 成本 × 1.2？
✅ 正確！ 20% 係成本嘅 20%
但小心：「蝕 20%」= 售價 = 成本 × 0.8
唔係成本 × 0.2！
✅ 正確做法
賺：成本 × (1 + 賺%)
蝕：成本 × (1 − 蝕%)
分母永遠係成本！
❌ 陷阱引爆
加價 20% 再打八折 = 原價？
❌ 錯！✅ 正確做法
$100 → +20% = $120
→ 八折 = $96
$96 ≠ $100！
因為基準次次變！
❌ 陷阱引爆
標價 $600，減價 15%。
售價 = 600 × 15 = 9000？
❌ 錯！✅ 正確做法
15% 要轉 0.15！
售價 = 600 × 0.85 = $510
或 = 600 − 600×0.15 = $510
⚠️ 利潤率永遠以成本做分母！不要用售價。這是 SSPA 最高頻陷阱。
⚠️ 折扣% ≠ 直接乘。八折 = ×0.8，不是 ×80。百分數要轉小數。
⚠️ 連續折扣每次用新基準。加 10% 再減 10% ≠ 冇變！
📝 例題1 — 利潤計算
一件衣服成本$200，以25%利潤出售。售價是多少？
解：售價 = 成本 × (1 + 利潤率) = 200 × 1.25 = $250
利潤 = 250 - 200 = $50，利潤率 = 50÷200 = 25% ✓
📝 例題2 — 虧損計算
一部手機成本$3000，以15%虧損出售。售價是多少？虧了多少？
解：售價 = 3000 × (1 - 0.15) = 3000 × 0.85 = $2550
虧損 = 3000 - 2550 = $450
驗算：450÷3000 = 15% ✓
📝 例題3 — 折扣計算（SSPA高頻）
原價$480的書包打八折（20% off），另外會員再有95折。最終售價是多少？
解：
第一步：480 × 0.8 = $384（八折後）
第二步：384 × 0.95 = $364.8（會員再95折）
陷阱：不是 20%+5%=25%off！折扣是逐層計算：480×0.8×0.95≠480×0.75
📝 例題4 — 逆向求成本（SSPA終極）
一部相機以$2700出售，利潤率是成本的35%。成本是多少？
解：設成本為x
x × (1 + 0.35) = 2700
x × 1.35 = 2700 → x = 2700 ÷ 1.35 = $2000
驗算：利潤=2700-2000=$700，利潤率=700÷2000=35% ✓
三、課堂分層同步練習
🌱 基礎層（共 6 題） 基礎層（全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 6 | 成本 $120，售價 $150。盈利=？盈利%=？ | 🌱 | |
| 7 | 成本 $200，售價 $160。虧損=？虧損%=？ | 🌱 | |
| 8 | 標價 $360，打八折。售價=？ | 🌱 | |
| 9 | 成本 $80，賺 25%。售價=？ | 🌿 | |
| 10 | 標價 $600，減價 15%。售價=？ | 🌿 | |
| 11 | 成本 $500，蝕 12%。售價=？ | 🌿 | |
🌳 進階層（共 5 題） 挑戰層（🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 12 | 成本 $400，以盈利 35% 定標價，再打九折出售。實際盈利% = ？ | 🌳 | |
| 13 | 一件貨品標價 $1000，連續兩次分別減價 20% 同 10%。最終售價 = ？總折扣% = ？ | 🌳 | |
| 14 | 陳先生買入手機 $3000，以 $4200 賣出。後來買家退貨，陳先生以 $3600 轉賣。整體賺定蝕？賺/蝕率=？ | 🌳 | |
| 15 | （呈分試題型）薯片標價 $12，今日特價「買二送一」。買 3 包平均每包平咗幾多%？ | 🌳 | |
| 16 | 一件衫，賺 40% 嘅售價 = $350。成本 = ？如果改為賺 25%，新售價 = ？ | 🌳 | |
四、應用題（SSPA 文字題，共 5 題）
{qt_table(word_probs)}
五、課後功課
基礎必做（共 4 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H1 | 成本 $150，賺 20%。售價=？ | 🌱 | |
| H2 | 標價 $480，打七五折。售價=？ | 🌱 | |
| H3 | 成本 $600，蝕 15%。售價=？蝕咗幾多？ | 🌿 | |
| H4 | 一件貨品標價 $880，先減 25%，再打九折。最終售價=？ | 🌿 | |
進階選做（共 2 題 🚀）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H5 | 書店賣一本書，賺 30% = $39。成本 = ？售價 = ？ | 🌳 | |
| H6 | 百貨公司「買三送一」= 幾多折？（提示：計平均每件價錢 ÷ 原價） | 🌳 | |
六、本堂核心易錯點總結
| # | 易錯點（❌ 陷阱） | 正確做法（✅） |
|---|
| 1 | 利潤率分母錯 | 利潤率 = 利潤 ÷ 成本 × 100%。唔好用售價！成本係分母。 |
| 2 | % 忘記轉小數 | 15% = 0.15。折扣計算一定要轉小數先乘。 |
| 3 | 連續% 當加減 | 加 10% 再減 10% ≠ 冇變。每次用新基準逐個乘。 |
| 4 | 賺蝕方向調轉 | 賺 = 售價 > 成本；蝕 = 售價 < 成本。確認邊個大先決定方向。 |
| 5 | 買X送Y計折扣 | 買三送一：原價 3 件錢買到 4 件。折扣 = 3÷4 = 75% = 七五折。 |
🧠 口訣：「利潤率用成本除，折扣要轉小數乘。連續折扣唔係加，基準次次用新價。加完再減唔還原，賺蝕方向要睇清！」
七、解題四步卡
1
認方向
賺定蝕？售價 > 成本 = 賺；售價 < 成本 = 蝕。確認方向先。
2
列公式
賺% = (售價−成本) ÷ 成本 × 100%。蝕% = (成本−售價) ÷ 成本 × 100%。
3
轉小數
20% = 0.2；八折 = 0.8；減 15% = ×0.85。每次都轉小數先乘。
4
逐次乘
連續折扣：$A × (1−d1) × (1−d2) × ...。逐個乘，唔好加埋！
🛍️ 商場大減價
小美睇中一件標價$450嘅外套，店舖做緊八折優惠，仲可以用會員95折！小美心算：「八折即係80%，再95折…」點知計錯咗！原來折扣係累乘唔係累加㗎！你知唔知最後要俾幾錢？
關鍵概念：折扣率×折扣率 = 最終折扣率，千祈唔好80%+5%=85%咁計！
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🪤 陷阱診斷專區 — 高品質陷阱題
以下題目來自霖楓教研團隊精心設計，每題針對一個常見考試陷阱。做完即知你的陷阱弱項！
一件衫原價$200，先加價20%，再打八折。最終售價是多少？
常見錯誤
$200×1.2×0.8 = $192，所以平咗$8。
正確思路
正確！$200×1.2×0.8=$192。但陷阱係：你以為加咗20%再減20%=原價？錯！$200×1.2×0.8=$192≠$200！
💡 加減相同百分比唔會還原！
商店說「買二送一」，相當於幾多折？
常見錯誤
買二送一=送33%=六七折。
正確思路
正確：3件只需付2件價錢，折扣=2÷3≈66.7%，即約六七折。但小心：如果四捨五入至最接近的整折，係六七折唔係六折！
💡 買二送一 = \(\frac{2}{3}\) ≈ 67%，不是60%！
一件商品成本$300，以40%盈利定價，再打八折出售。賺定蝕？
常見錯誤
定價=$300×1.4=$420，八折=$336，賺$36。
正確思路
正確！但要留意：有啲同學會直接用$300×40%=$120當盈利，但八折後盈利只得$36。考試會考你呢個「折扣後仲有冇賺」嘅概念！
💡 打折後的實際利潤 = 定價×折扣率 − 成本
AI 智能補充練習
🎯 AI自動生成 · 課外延伸練習
| # | 題目 | 答案 |
|---|
| 1 | \(\frac{2}{12}\)+\(\frac{4}{12}\)=? | \(\frac{6}{12}\) |
| 2 | \(\frac{3}{12}\)+\(\frac{2}{12}\)=? | \(\frac{5}{12}\) |
| 3 | \(\frac{1}{8}\)+\(\frac{2}{8}\)=? | \(\frac{3}{8}\) |
🚨 P6 進階陷阱卡 — 呈分試必避！
❌ 錯誤：一件商品以八折出售，再以九折出售，總折扣率 = 80% + 90% = 170%，所以售價比原價高。
🤔 為何會錯：連續折扣不能直接相加，因為第二次折扣是在第一次折扣後的售價上計算，而非原價。
✅ 正確：設原價為 $P$，第一次八折後售價為 $0.8P$，第二次九折後售價為 $0.9 \times 0.8P = 0.72P$，即總折扣率為 $1 - 0.72 = 0.28$，即 28% 折扣。
💡 連續折扣時，每次折扣的基數不同，要用乘法計算最終售價，再求折扣率。
❌ 錯誤：某商品以 $120 元賣出，虧損 20%，成本 = $120 \times (1 - 0.2) = $96 元。
🤔 為何會錯：虧損 20% 是指虧損佔成本的 20%，即售價 = 成本 × (1 - 20%)，所以應以成本為基準，反求成本：成本 = 售價 ÷ (1 - 20%)。
✅ 正確：設成本為 $C$，則 $C \times (1 - 0.2) = 120$，解得 $C = 120 \div 0.8 = 150$ 元。
💡 虧損或利潤的百分比是相對於成本計算，不是售價。記住：售價 = 成本 × (1 ± 百分率)。
🏆 P6 呈分試挑戰題 SSPA 殺手級
挑戰題 15 分 · SSPA級
一間書店以每本 $80 元購入 500 本練習冊，計劃以 25% 的利潤率定價出售。但由於部分書本有瑕疵，書店先以定價的 85% 出售了 300 本，再將剩餘 200 本以每本 $60 元清貨。問書店最終是盈利還是虧損？盈利或虧損的金額是多少？
答案：盈利 $4,400 元
解題：1. 總成本：$80 \times 500 = 40,000$ 元。
2. 定價：$80 \times (1 + 0.25) = 100$ 元。
3. 第一階段收入：$100 \times 0.85 \times 300 = 85 \times 300 = 25,500$ 元。
4. 第二階段收入：$60 \times 200 = 12,000$ 元。
5. 總收入：$25,500 + 12,000 = 37,500$ 元。
6. 盈利/虧損：$37,500 - 40,000 = -2,500$ 元（虧損）。
（修正：題目要求盈利或虧損，此處計算為虧損 $2,500$ 元，但答案原設為盈利，需調整）
重新驗算：定價 $100，85% 為 $85，300 本收入 $25,500；清貨 $60×200=$12,000；總收入 $37,500 < $40,000，虧損 $2,500。
答案修正為：虧損 $2,500 元。
挑戰題 26 分 · SSPA級
某款手錶的成本是 $x$ 元，店舖以比成本高 30% 的標價出售。在節日期間，該手錶先打八折，再減 $50 元，最終以 $622 元賣出。求 $x$ 的值。
答案：$x = 600$ 元
解題：1. 標價 = $x \times (1 + 0.3) = 1.3x$。
2. 八折後售價 = $1.3x \times 0.8 = 1.04x$。
3. 再減 $50$ 元：$1.04x - 50 = 622$。
4. 解方程：$1.04x = 672$，$x = 672 \div 1.04 = 646.153...$（此處計算有誤，需重新檢查）
正確解法：
$1.04x - 50 = 622$
$1.04x = 672$
$x = 672 \div 1.04 = 646.15$（非整數，不合理）
重新審題：可能八折後再減 $50$，最終售價 $622$。設 $1.3x \times 0.8 = 1.04x$，$1.04x - 50 = 622$，$1.04x = 672$，$x = 646.15$，但成本應為整數，檢查計算：$1.04 \times 600 = 624$，$624 - 50 = 574$，不符。
正確應為：八折前標價 $1.3x$，八折後 $1.04x$，減 $50$ 得 $1.04x - 50 = 622$，$1.04x = 672$，$x = 646.15$，但題目可能預期 $x=600$ 時，$1.04×600=624$，$624-50=574$，不對。
重新推導：若最終售價 $622$，則 $1.04x = 672$，$x=646.15$，約 $646.15$ 元。
答案修正為 $x \approx 646.15$ 元。
🧠 高階思維提示：高階思維提示：在利潤虧損與折扣問題中，有時會出現「先提價再打折」或「多重折扣」的情況。關鍵是釐清每個步驟的基準數（原價、成本、標價），並用代數設未知數來建立方程。注意百分比的增減不能直接加減，而要轉化為乘數（如增加 30% 即乘以 1.3，打八折即乘以 0.8）。此外，當題目涉及「盈利百分率」或「虧損百分率」時，永遠以成本為分母，而非售價。
