霖楓學苑 · LF Academy
小六 · 第 25 堂 · 學生版講義
列方程解應用題進階
年齡問題 · 分配問題 · 幾何+方程 · 百分數+方程 · 65 分鐘 · 一對三線上課程
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》6B冊 單元二 ＋ 現代教育 6B 單元3
SSPA 關聯：🔴 必考 呈分試卷二應用題佔分最重，列方程係必考題型
前置知識：L24 含括號分數方程、P5 L15 方程應用題基礎
本堂目標：❶ 年齡問題 ❷ 分配問題 ❸ 幾何+方程綜合 ❹ 百分數+方程綜合
核心陷阱：🪤 T17 設未知數方向錯誤（應設「最細」還是「所求」）· 翻譯中文→數學出錯
📋 家長30秒摘要
本堂重點：運用「設未知數」及「等量關係」列方程，解決分數與倍數混合應用題。學完能掌握：把文字轉為代數式，逐步解題並驗算答案。家中鞏固建議：每天做一題自編應用題，練習將「比…多/少」寫成算式。
學生姓名：班級：日期：完成時長：
🧩 列方程大師·應用題挑戰
每題係一個真實生活場景，你要由中文文字轉化成方程再解答！連續破關升級「方程大師」！
⭐ 開始挑戰 →
🎒 文具店採購
小霖去文具店買咗3本筆記本同2支筆，總共$47。已知每本筆記本$11，每支筆幾錢？列方程：3×11+2x=47 → 33+2x=47 → 2x=14 → x=7。每支筆$7！
關鍵步驟：① 設未知數（let x=?）② 按題意列方程 ③ 解方程 ④ 寫答案+單位 ⑤ 檢驗答案合理性
一、熱身啟動題（共 5 題，5 分鐘）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 1 | 一個數加 5 再乘 3 等於 36。呢個數係？ | 🌱 | |
| 2 | 小明同小強共有 $150，小明比小強多 $30。設小強有 $x。小明有 $？ | 🌱 | |
| 3 | 爸爸年齡係小明嘅 3 倍多 2。設小明 = x，爸爸 = ？ | 🌱 | |
| 4 | 長方形長係闊嘅 2 倍。設闊 = x，長 = ？周界 = ？ | 🌿 | |
| 5 | 一件貨品加價 20% 後售 $240。設原價 = x，列出方程。 | 🌿 | |
二、核心知識精講 ＋ 例題練習
設→列→解→驗
關鍵詞決定方程結構
知識點一：年齡問題 🔴 SSPA
① 設最細嗰個做 x（通常係仔女）
② 其他人用 x 表達（幾倍、多幾歲）
③ 例：爸爸年齡係小明嘅 3 倍多 2，兩人加埋 54
設小明 = x → 爸爸 = 3x+2
x + (3x+2) = 54 → x = 13 ✅
④ 口訣：「年齡問題設最細，其餘用 x 嚟砌！」
WHY BOX：解方程的「天秤原理」
方程就像一個天秤：等號兩邊必須保持平衡。
3x + 5 = 20
→ 兩邊 -5：3x = 15
→ 兩邊 ÷3：x = 5 ✅
核心原則：對一邊做的任何運算，另一邊也要做同樣的運算。
加減乘除都可以，只要兩邊一起做！
常見陷阱：2(x + 3) = 14
→ 有些學生會寫成 2x + 3 = 14 ❌
→ 正確：2x + 6 = 14，然後 x = 4 ✅
記住：括號內的每一項都要乘！
💡 列方程解應用題黃金四步：1)設未知數（通常設問題所求為x）；2)根據題目條件列等式；3)解方程；4)驗算答案是否合理（帶回原題檢查）。
知識點二：分配問題 🔴 SSPA
① 有倍數關係 → 設最細嗰個做 x
② 例：甲乙丙分 $1200。甲係乙嘅 2 倍，乙係丙嘅 3 倍
設丙 = x → 乙 = 3x → 甲 = 6x
6x + 3x + x = 1200 → x = 120
③ 設錯 x（例如設甲=x）→ 條式會好複雜！
④ 口訣：「有倍數關係→設最細嗰個做 x，其餘用 x 表達！」
知識點三：幾何+方程綜合 🔴 SSPA
① 先畫圖 → 標上已知和未知
② 用周界面積公式建方程
③ 例：長方形長比闊多 3cm，周界 26cm
設闊 = x → 長 = x+3
2(x + x+3) = 26 → x = 5
④ 記得寫單位同答句！
例1
年齡題：媽媽年齡係女兒嘅 4 倍，5 年後兩人加埋 60 歲。女兒現在幾歲？
設女兒 = x → 媽媽 = 4x
5 年後：(x+5) + (4x+5) = 60
→ 5x + 10 = 60 → x = 10 ✅
例2
分配題：三個數的和是 85。第一個數是第二個的 2 倍，第三個比第一個多 5。三個數各是多少？
設第二個 = x → 第一個 = 2x → 第三個 = 2x+5
2x + x + (2x+5) = 85 → 5x = 80 → x = 16
2x=32, 2x+5=37 ✅
例3
百分數題：一件貨品減價 15% 後售 $340。原價 = ？
設原價 = x → x × 0.85 = 340
→ x = 340 ÷ 0.85 = $400 ✅
❌ 陷阱引爆
幾何題：周界 = 30
長 = 闊 + 3
設闊 = x → 長 = x+3
方程：x + x+3 = 30 ❌？
✅ 正確做法
周界 = 2(長+闊)！
正確：2(x + x+3) = 30
→ 4x + 6 = 30 → x = 6 ✅
記得係 2 倍！
❌ 陷阱引爆
百分數方程：
加價 20% = 乘以 20？
❌
✅ 正確做法
加價 20% = ×1.2
減價 20% = ×0.8
用 1±%，唔係直接用 %！
❌ 陷阱引爆
設錯 x：
「甲係乙嘅 3 倍」
設甲 = x？
✅ 正確做法
設乙 = x → 甲 = 3x
設最細嗰個做 x！
設甲 = x 的話，乙 = x/3，會有分數，更複雜。
⚠️ 設未知數：有倍數關係 → 設最細做 x。無倍數關係 → 設所求做 x。
⚠️ 翻譯中文：「比...多」= +；「是...的N倍」= Nx；「共」= 加埋
⚠️ 幾何題先寫公式，再代 x 表達式，最後解方程。單位要一致！
WHY BOX：為甚麼要學列方程？
列方程是數學思維的飛躍：由「計算答案」升級為「建立關係」！
小學階段習慣直接計算，但中學數學要求用代數建立模型。
現實應用：工程師用方程設計橋樑、科學家用方程預測天氣、金融分析師用方程計算投資回報。學好列方程＝掌握終極解難工具！
📝 題型一：和差問題（最常見陷阱）
大數和小數的和是45，大數比小數多15。兩個數分別是多少？
解題四步：
1) 設未知數：設小數為x，則大數為x+15
2) 列方程：x + (x+15) = 45
3) 解方程：2x + 15 = 45 → 2x = 30 → x = 15
4) 答題：小數=15，大數=15+15=30
驗算：15+30=45 ✓，30-15=15 ✓
📝 題型二：年齡問題（時間前後變化）
爸爸今年40歲，兒子今年12歲。幾年後爸爸的年齡是兒子的2倍？
解題四步：
1) 設未知數：設x年後
2) 列方程：40+x = 2(12+x)
3) 解方程：40+x = 24+2x → 40-24 = 2x-x → 16 = x
4) 答題：16年後
驗算：16年後爸爸56歲，兒子28歲，56÷28=2 ✓
📝 題型三：盈虧問題（SSPA高頻）
老師派糖果，每人派4粒則剩12粒，每人派6粒則不夠8粒。有多少個學生？
解題四步：
1) 設未知數：設學生人數為x
2) 列方程：糖果總數不變 → 4x+12 = 6x-8
3) 解方程：12+8 = 6x-4x → 20 = 2x → x = 10
4) 答題：有10個學生，糖果總數=4×10+12=52粒
驗算：每人6粒→6×10=60粒，不夠8粒→52粒 ✓
📝 題型四：速率追及問題
哥哥以6km/h步行，1小時後弟弟以10km/h騎單車從同一地點出發追趕。弟弟要多久才能追上哥哥？
解題四步：
1) 設未知數：設弟弟出發x小時後追上
2) 列方程：哥哥領先距離=6×1=6km → 10x = 6x + 6
3) 解方程：10x-6x=6 → 4x=6 → x=1.5
4) 答題：弟弟需要1.5小時（1小時30分鐘）追上
驗算：哥哥走了6×(1+1.5)=15km，弟弟走了10×1.5=15km ✓
📝 題型五：SSPA終極挑戰 — 分數混合
一桶水，先用去1/3，再用去餘下的2/5，最後剩24升。桶中原有多少升水？
解題四步：
1) 設未知數：設原有x升
2) 列方程：先用1/3→剩2x/3；再用去餘下的2/5→剩(2x/3)×(3/5)=2x/5
2x/5 = 24
3) 解方程：x = 24 × 5/2 = 60
4) 答題：桶中原有60升水
驗算：先用1/3→用20升剩40升；再用2/5→用16升剩24升 ✓
三、課堂分層同步練習
🌱 基礎層（共 6 題） 基礎層（全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 6 | 小明有 x 元，小強比小明多 $15。小強有 $？兩人共有 $？ | 🌱 | |
| 7 | 一個數的 3 倍減 7 等於 20。求該數。 | 🌱 | |
| 8 | 長方形長是闊的 3 倍，周界 = 64cm。設闊 = x。列出方程。 | 🌿 | |
| 9 | 三數之和為 96。甲是乙的 2 倍，丙比乙多 6。設乙 = x。列出方程。 | 🌿 | |
| 10 | 一件衫減價 30% 後售 $210。原價 = ？ | 🌿 | |
| 11 | 爸爸比小明大 28 歲。5 年後爸爸年齡是小明的 3 倍。小明現在幾歲？ | 🌿 | |
🌳 進階層（共 5 題） 挑戰層（🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 12 | 三角形三邊比為 2:3:4，周界 72cm。三邊各是多少？ | 🌳 | |
| 13 | 兩個連續偶數之和為 86。設較小的偶數 = x。列出方程並解。 | 🌳 | |
| 14 | 甲有 $x，乙是甲的 3 倍少 $10，丙是乙的一半多 $5。三人共有 $310。求 x。 | 🌳 | |
| 15 | 梯形上底是下底的一半，高 = 8cm，面積 = 72cm²。設下底 = x cm。列出方程。 | 🌳 | |
| 16 | 一件貨品成本 $x，加價 40% 標價，再打八折出售仍賺 $24。求 x。 | 🌳 | |
四、應用題（SSPA 文字題，共 6 題）
{qt_table(word_probs)}
五、課後功課
基礎必做（共 4 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H1 | 兩個數的和是 45，差是 9。兩數各是多少？ | 🌱 | |
| H2 | 正方形邊長 x cm，周界 = 36cm。x = ？ | 🌱 | |
| H3 | 蘋果每個 $3，橙每個 $2，共買 10 個花了 $26。設蘋果 = x 個。列出方程。 | 🌿 | |
| H4 | 糖一包，分給 5 人每人 x 粒剩 3 粒；分給 6 人每人 (x−1) 粒剛好。求 x。 | 🌿 | |
進階選做（共 2 題 🚀）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H5 | 容器有水 x L，倒出 1/3 後加 15L 變成原來的 2 倍。求 x。 | 🌳 | |
| H6 | 班上有男生 x 人，女生比男生的 2 倍少 5 人。全班 40 人。求男生人數。 | 🌳 | |
六、本堂核心易錯點總結
| # | 易錯點（❌ 陷阱） | 正確做法（✅） |
|---|
| 1 | 設錯 x | 有倍數關係 → 設最細做 x。無 → 設所求做 x。 |
| 2 | 中文→數學翻譯錯 | 「比...多」= +；「是...N倍」= Nx；「一半」= ÷2或×0.5 |
| 3 | 幾何漏乘2 | 周界 = 2(長+闊)。三角形面積 = 底×高÷2。梯形面積 = (上底+下底)×高÷2 |
| 4 | 忘記答句 | 解出 x 後要回答原問題！例如問「小明幾歲」就要寫「小明 13 歲。」 |
| 5 | 百分數用錯基準 | 加價 20% = ×1.2；減價 20% = ×0.8。用 1±%，唔係直接用 %！ |
🧠 口訣：「應用題要設好 x，有倍數關係設最細。中文翻譯變數學，幾何先寫公式落。百分用 1±% 來乘，解完記得對答題！」
七、解題四步卡
1
讀題
圈關鍵數字和關係詞。確認問什麼。決定設哪個為 x。
2
設 x
有倍數→設最細。無倍數→設所求。其餘用 x 表達。
3
列方程
翻譯中文→數學式。運用公式（周界/面積/分配）。左=右。
🪤 霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱。 · LF-P6-下-L25 · 相關課題：P5 L15 方程應用題 · P6下 L24 方程進階 · P6下 L35 中一預習
📚 LF-P6-下-L25 · 相關課題：P5 L15 方程應用題 · P6下 L24 方程進階 · P6下 L35 中一預習
🪤 陷阱診斷專區 — 高品質陷阱題
以下題目來自霖楓教研團隊精心設計，每題針對一個常見考試陷阱。做完即知你的陷阱弱項！
「甲比乙多5個，丙是甲的2倍，三人共65個。」列錯方程最常見的原因是？
常見錯誤
設乙=x，則甲=x+5，丙=2x。x+(x+5)+2x=65→x=15。
正確思路
正確！設乙=x→甲=x+5→丙=2(x+5)=2x+10。x+(x+5)+(2x+10)=65→4x+15=65→x=12.5。丙=2×乙=2x=25？錯！丙=2×甲=2(x+5)=35！
💡 「丙是甲的2倍」=丙=2×甲，不是2×乙！小心主語！
AI 智能補充練習
🎯 AI自動生成 · 課外延伸練習
| # | 題目 | 答案 |
|---|
| 1 | 5倍加14等於59，求該數 | 9.0 |
| 2 | 5倍加16等於46，求該數 | 6.0 |
| 3 | 2倍加14等於28，求該數 | 7.0 |
🧠 高階思維提示：高階思維提示：在列方程解應用題時，若遇到「倍數關係」或「變化後相等」的條件，可以嘗試用「設未知數後，用同一變量表示所有數量」的方法，並善於利用「總和不變」或「差額不變」的隱含條件。例如，在給錢問題中，總和始終不變；在長方形變正方形問題中，邊長變化後的差額關係可轉化為方程。另外，若題目有多個未知數，可先設其中一個為x，再用關係式表示另一個，減少變量數，簡化計算。
🧠 高階思維提示：高階思維提示：在列方程解應用題時，若遇到「倍數關係」或「變化後相等」的條件，可以嘗試用「設未知數後，用同一變量表示所有數量」的方法，並善於利用「總和不變」或「差額不變」的隱含條件。例如，在給錢問題中，總和始終不變；在長方形變正方形問題中，邊長變化後的差額關係可轉化為方程。另外，若題目有多個未知數，可先設其中一個為x，再用關係式表示另一個，減少變量數，簡化計算。
🧠 高階思維提示：高階思維提示：在列方程解應用題時，若遇到「倍數關係」或「變化後相等」的條件，可以嘗試用「設未知數後，用同一變量表示所有數量」的方法，並善於利用「總和不變」或「差額不變」的隱含條件。例如，在給錢問題中，總和始終不變；在長方形變正方形問題中，邊長變化後的差額關係可轉化為方程。另外，若題目有多個未知數，可先設其中一個為x，再用關係式表示另一個，減少變量數，簡化計算。
進階陷阱卡
❌ 陷阱一：「小明有一些糖，吃了 12 粒後，剩下的糖是原來的 1/3，問原來有多少粒？」
錯誤做法：設原來有 x 粒，直接寫 x – 12 = 1/3
❓ 為何錯：「剩下的糖是原來的 1/3」意思是「剩下的 = 原來的 × 1/3」，而不是「剩下的 = 1/3」。1/3 只是一個分數，不是一個數量。
✅ 正確做法：設原來有 x 粒。剩下的 = x – 12，所以方程是 x – 12 = (1/3)x。解：x – (1/3)x = 12 → (2/3)x = 12 → x = 18。
💡 提醒：「是原來的 1/3」要寫成「= (1/3) × 原來的量」，不能漏掉未知數。
❌ 陷阱二：「哥哥有 50 元，弟弟有 30 元，哥哥給弟弟多少元後，兩人的錢一樣多？」
錯誤做法：設哥哥給弟弟 x 元，寫成 50 – x = 30 + x，解得 x = 10。但驗算時發現哥哥有 40 元，弟弟有 40 元，正確啊？為何是陷阱？
❓ 為何錯：這題做法本身正確，但很多同學在「設未知數」時會設成「哥哥給弟弟後兩人錢數」，然後列式混亂。真正的陷阱是：當題目問「誰給誰多少後，誰是誰的幾倍」時，容易搞錯給錢後誰加誰減。
✅ 正確做法：設哥哥給弟弟 x 元，則哥哥剩下 50 – x，弟弟變成 30 + x。列式 50 – x = 30 + x → 2x = 20 → x = 10。必須檢查「給後」的數量。
💡 提醒：給錢問題中，「給的一方減少，收的一方增加」，一定要在等式兩邊正確反映加減。
挑戰題
📝 挑戰題 1（4分）
一個長方形花園的長比闊多 8 米，周界是 64 米。求花園的面積。
✅ 答案：240 平方米
解題步驟：
設闊為 x 米，則長為 x + 8 米。
周界 = 2(長 + 闊) = 2(x + 8 + x) = 2(2x + 8) = 4x + 16
4x + 16 = 64 → 4x = 48 → x = 12（闊）
長 = 12 + 8 = 20
面積 = 20 × 12 = 240 平方米
⭐ 分數：設未知數 1 分，列周界方程 1 分，解方程 1 分，面積答案 1 分。
📝 挑戰題 2（5分）
書架上有中文書和英文書共 120 本。中文書的數量是英文書的 3 倍少 8 本。問中文書有幾本？
✅ 答案：88 本
解題步驟：
設英文書有 x 本，則中文書有 3x – 8 本。
總數：x + (3x – 8) = 120
4x – 8 = 120 → 4x = 128 → x = 32（英文書）
中文書 = 3 × 32 – 8 = 96 – 8 = 88 本
⭐ 分數：設未知數 1 分，正確表示中文書 1 分，列總數方程 1 分，解方程 1 分，答案 1 分。
💡 思維提示：列方程解應用題的關鍵是「找等量關係」。先讀題圈出「比、是、共、倍、多、少」等字眼，再用未知數表示每個數量，最後寫出等式。記得驗算答案是否符合題意！
