霖楓學苑 · LF Academy
小六 · 第 29 堂 · 學生版講義
容量與體積進階：排水法、溢出與截面
排水法 · 溢出 · 截面面積 · 65 分鐘 · 一對三線上課程
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》6B冊 單元七
SSPA 關聯：🟡 重要 體積應用題為呈分試常見題型
前置知識：P5 L25-L27 體積基礎、P6上 L16 容量與體積進階
本堂目標：❶ 排水法求不規則物體體積 ❷ 溢出問題 ❸ 截面法求體積 ❹ cm³↔mL↔L換算
核心陷阱：🪤 T21 排水體積=物體體積（完全浸沒條件）· 溢出≠物體體積 · 換算鏈出錯
📋 家長30秒摘要
本堂重點：排水法求不規則物體體積、溢出水量計算及截面面積應用。學完能掌握：利用水位變化推算體積，解決注水與溢出的應用題。家中鞏固：請用廚房量杯與小石塊做排水實驗，並練習書中截面相關題目。
學生姓名：班級：日期：完成時長：
🏆 🏗️ 建築大師·體積挑戰
每關俾你唔同形狀嘅容器尺寸，你要計出準確體積！計錯會漏水扣分，全對可解鎖「建築大師」成就！
⭐ 開始挑戰 →
一、熱身啟動題（共 5 題，5 分鐘）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 1 | 1 cm³ = 幾多 mL？ | 🌱 | |
| 2 | 1 L = 幾多 cm³？ | 🌱 | |
| 3 | 長方體體積 = ？ | 🌱 | |
| 4 | 一個石頭放入水中，水位上升 50 mL。石頭體積 = ？ | 🌿 | |
| 5 | 容器有 500 mL 水。放入物體後水位上升到 680 mL。物體體積 = ？ | 🌿 | |
二、核心知識精講 ＋ 例題練習
知識點一：排水法求體積 🔴 SSPA
① 原理：物體浸入水中 → 排開同等體積的水
② 水位上升法：體積 = 上升水位體積 = 底面積 × 上升高度
③ 溢出水法：體積 = 溢出水的體積
④ ⚠️ 條件：物體必須完全浸沒！浮在水面不適用！
⑤ 口訣：「浸沒物體排水量，水升體積就係佢！」
WHY BOX：體積容量有咩分別？
📦 體積 vs 容量：體積=物件佔用空間（cm³/m³）；容量=容器可裝嘅液體量（mL/L）
🔬 阿基米德原理：浸入水中嘅物件會排開同等體積嘅水——呢個就係「排水法」！
🏫 中學延伸：中一學柱體/錐體/球體體積公式，小六長方體/正方體係基礎！
WHY BOX：體積 vs 面積 vs 容量 — 三者有甚麼不同？
面積（Area）：平面有多大 → 單位 cm², m²（二次方）
體積（Volume）：立體佔多少空間 → 單位 cm³, m³（三次方）
容量（Capacity）：容器能裝多少液體 → 單位 mL, L
關係：1 cm³ = 1 mL，1000 cm³ = 1 L
長方體體積 = 長 × 闊 × 高（三個維度相乘 → 三次方單位）
考試陷阱：題目給 cm 但答案要 L？先算 cm³，再 ÷1000 轉 L！
💡 排水法三步：1)記錄初始水位高度；2)放入物體後記錄新水位；3)體積=底面積×(新水位-初始水位)。注意：物體必須完全浸沒！溢出法同理。
知識點二：溢出問題 🔴 SSPA
① 容器滿水 → 放入物體 → 水溢出
② 溢出水量 = 物體體積（完全浸沒且容器原本滿水）
③ 容器未滿 → 先填滿 → 再溢出
④ 溢出體積 = 物體體積 − 容器剩餘空間
⑤ ⚠️ 如果物體不完全浸沒，溢出量 < 物體體積
知識點三：截面法求體積 🔴 SSPA
① 截面面積 × 長度 = 體積
② 適用於柱體（截面均勻的立體）
③ 例：L形柱體的體積 = L形截面面積 × 柱高
④ 複雜截面 = 分割成簡單形狀，求面積總和，再 × 長度
例1
長方體容器底面積 200 cm²。放入石頭後水位上升 3 cm。石頭體積 = ？
體積 = 200 × 3 = 600 cm³ ✅
例2
容器裝滿 2L 水。放入鐵塊後溢出 350 mL 水。鐵塊體積 = ？
溢出 = 350 mL = 350 cm³ = 鐵塊體積 ✅
例3
L形柱體截面積 = 24 cm²，柱高 = 15 cm。體積 = ？
體積 = 24 × 15 = 360 cm³
❌ 陷阱引爆
物體放入水中，
水位從 200→250 mL
體積 = 250 mL？
❌ 錯！✅ 正確做法
體積 = 250 − 200 = 50 mL
係
水位差，唔係最終水位！
排水體積 = 上升量！
❌ 陷阱引爆
物體放入滿水容器
溢出 100 mL
物體體積 = 100 mL？
⚠️ 條件！✅ 正確做法
要睇物體係咪
完全浸沒！
如果浮起一部分，
100 mL 只是浸沒部分的體積。
❌ 陷阱引爆
容器未滿，有 300 mL
空間，放入 500 cm³
物體，溢出 = 500？
❌ 錯！✅ 正確做法
先填滿 300 mL 空間
→ 溢出 = 500 − 300 = 200 mL
溢出 = 物體體積 − 剩餘空間
⚠️ 排水體積 = 上升水位差，不是最終水位！這是 SSPA 第一陷阱。
⚠️ 完全浸沒是排水法的前提條件。物體浮起 = 不能直接用排水法。
⚠️ 1 cm³ = 1 mL = 0.001 L。換算鏈必須熟練。
⚠️ 溢出量 = 物體體積 − 容器剩餘空間（容器不滿時）。
📝 例題1 — 排水法求體積
一個長方體水箱，底面積400cm²，原有水位8cm。放入一塊石頭後，水位上升至11cm。石頭的體積是多少？
解：
水位上升 = 11 - 8 = 3cm
石頭體積 = 底面積 × 水位上升 = 400 × 3 = 1200 cm³
關鍵：石頭體積 = 排開的水的體積！
📝 例題2 — 溢出法
一個滿水的容器，放入體積500cm³的鐵塊後，溢出了多少mL的水？（1cm³=1mL）
解：溢出水的體積 = 鐵塊體積 = 500 cm³ = 500 mL
核心：物體體積 = 溢出水的體積。1cm³ = 1mL。
📝 例題3 — SSPA複合題
水箱長20cm闊15cm高10cm。放入一個正方體鐵塊（邊長5cm）後加水至滿。需要加多少mL水？
解：
水箱總容量 = 20×15×10 = 3000 cm³
鐵塊體積 = 5×5×5 = 125 cm³
需加水 = 3000 - 125 = 2875 cm³ = 2875 mL
三、課堂分層同步練習
🌱 基礎層（共 6 題） 基礎層（全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 6 | 換算：① 350 mL = ？cm³ ② 2.5 L = ？cm³ ③ 800 cm³ = ？L | 🌱 | |
| 7 | 容器有 450 mL 水。放入物體後水位 = 620 mL。物體體積 = ？ | 🌱 | |
| 8 | 長方體容器 10×8 cm，水位上升 4 cm。物體體積 = ？ | 🌿 | |
| 9 | 裝滿水的容器放入石頭，溢出 280 mL。石頭體積 = ？ | 🌿 | |
| 10 | 容器容量 1L，現有 600 mL 水。放入 500 cm³ 物體。溢出多少？ | 🌿 | |
| 11 | L形截面：分成兩個長方形，3×2=6cm² + 5×2=10cm²，總截面積=？柱高=8cm，體積=？ | 🌿 | |
🌳 進階層（共 5 題） 挑戰層（🚀 選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| 12 | 圓柱容器半徑 7cm。放入石頭後水位升 5cm。石頭體積 = ？(π≈22/7) | 🌳 | |
| 13 | 水箱 50×30×40 cm，裝了 80% 水。放入 15,000 cm³ 物體。溢出 = ？ | 🌳 | |
| 14 | 一個物體放入水中，水位升 2.5 cm（容器底面積 80 cm²）。但物體有 1/4 露出水面。物體實際體積 = ？ | 🌳 | |
| 15 | 長方體容器 20×15×25 cm，裝了 6L 水。最多還能放入多大體積的物體而不溢出？ | 🌳 | |
| 16 | 截面為梯形的柱體：上底 3cm、下底 5cm、高 4cm，柱長 12cm。體積 = ？ | 🌳 | |
四、應用題（SSPA 文字題，共 4 題）
{qt_table(word_probs)}
五、課後功課
基礎必做（共 4 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H1 | 500 mL = ？cm³ | 🌱 | |
| H2 | 容器底面積 60 cm²，水位升 4 cm。物體體積 = ？ | 🌱 | |
| H3 | 滿水容器放入物體溢出 175 mL。體積 = ？ | 🌿 | |
| H4 | 容器 800 mL，現有 500 mL。放入 400 cm³ 物體。溢出 = ？ | 🌿 | |
進階選做（共 2 題 🚀）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|
| H5 | 長方體容器 30×20 cm，水位升 2.5 cm。物體體積=？如果物體只浸沒了 3/4，實際體積=？ | 🌳 | |
| H6 | 設計一個截面為「凹」形的柱體，計算截面面積和體積。 | 🌳 | |
六、本堂核心易錯點總結
| # | 易錯點（❌ 陷阱） | 正確做法（✅） |
|---|
| 1 | 水位差 vs 最終水位 | 排水體積 = 上升量 = 最終−初始。不是最終水位！ |
| 2 | 不完全浸沒 | 物體浮起 → 排水體積 = 浸沒部分體積 ≠ 物體全部體積。 |
| 3 | 溢出計算 | 容器不滿→先填剩餘空間→再溢出。溢出 = 物體體積 − 剩餘空間。 |
| 4 | 換算錯誤 | 1 cm³ = 1 mL = 0.001 L。1 m³ = 1,000,000 cm³。 |
| 5 | 截面法 | 截面面積必須是均勻截面（柱體）。複雜截面先分割再求和。 |
🧠 口訣：「排水體積等於升水量，唔係最終嘅水位高。浸沒完全先適用，浮起部分要打折。溢出先填剩餘位，截面乘長計體積！」
七、解題四步卡
2
計水位差
體積 = 底面積 × 上升高度。或 = 最終mL − 初始mL。
3
計溢出
滿水：溢出 = 物體體積。不滿：溢出 = 物體 − (容量 − 現有)。
4
換算驗證
cm³↔mL↔L。1cm³=1mL。代入檢查是否合理。
🏊 泳池注水
學校泳池長25m、闊10m、水深由1.2m加到1.8m。要加幾多水？新體積=25×10×1.8=450m³；舊體積=25×10×1.2=300m³。需要加水=450−300=150m³=150,000公升！
關鍵：體積變化=底面積×水深變化！1m³=1000L，單位轉換要小心！
🪤 霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱。 · LF-P6-下-L29 · 相關課題：P5 L25 體積概念 · P5 L27 排水法 · P6上 L16 容量與體積進階
📚 LF-P6-下-L29 · 相關課題：P5 L25 體積概念 · P5 L27 排水法 · P6上 L16 容量與體積進階
🪤 陷阱診斷專區 — 高品質陷阱題
以下題目來自霖楓教研團隊精心設計，每題針對一個常見考試陷阱。做完即知你的陷阱弱項！
長方體長5cm、闊4cm、高3cm，體積=?
常見錯誤
5+4+3=12cm³。
正確思路
正確：5×4×3=60cm³。體積=長×闊×高（三維相乘），唔係相加！周界先係相加！
💡 體積=長×闊×高（三維乘）；面積=長×闊（二維乘）；周界=加哂佢（一維加）
一個正方體水缸邊長40cm，裝滿水。放入一個石頭後，水位無變化（石頭完全浸沒但水冇溢出），石頭體積是？
常見錯誤
水位無變化，石頭體積=0。
正確思路
正確：如果水冇溢出，水位冇變化=石頭體積沒有排水空間！呢個係「排水法」陷阱：必須有水溢出或水位上升先能量度體積！
💡 排水法必須見到水位變化先可以計！
AI 智能補充練習
🎯 AI自動生成 · 課外延伸練習
| # | 題目 | 答案 |
|---|
| 1 | 長8闊5高8，體積？ | 320 |
| 2 | 長4闊4高10，體積？ | 160 |
| 3 | 長10闊9高5，體積？ | 450 |
進階陷阱卡
❌ 陷阱卡 1：排水法只看「溢出水量」
錯誤做法：將不規則物體放入滿水容器，只量度溢出水量，直接當作物體體積。
為何錯：若物體浮在水面，只有部分體積浸入水中，溢出水量不等於物體總體積。
正確做法：用幼線綁住物體強行浸沒，或使用「排水法＋壓入法」，確保物體完全浸沒，溢出水量才等於物體體積。
💡 提醒：「溢出水量 = 物體排開的水體積」只適用於物體完全浸沒時。
❌ 陷阱卡 2：截面積 × 水位上升高度 亂用
錯誤做法：見到水位上升，直接用容器底面積 × 上升高度，當作物體體積。
為何錯：若容器內已有其他物體或水未滿，水位上升高度會受容器形狀影響，例如有「頸」的瓶或斜邊容器。
正確做法：先確認容器是否柱體（底面積均勻），且水位上升部分完全由物體佔據，才可用「底面積 × 上升高度」計算。
💡 提醒：非柱體容器必須用排水法收集溢出水再量度。
挑戰題
📘 挑戰題 1（4分）
一個長方體水箱長 40 cm、闊 25 cm、高 30 cm，內有水深 12 cm。小明放入一塊石頭後，水位升至 18 cm，且沒有水溢出。石頭的體積是多少？
✅ 答案： 6000 cm³
解題步驟：
- 水位上升高度 = 18 − 12 = 6 cm
- 水箱底面積 = 40 × 25 = 1000 cm²
- 石頭體積 = 底面積 × 上升高度 = 1000 × 6 = 6000 cm³
得分： 列式 2 分，計算 1 分，單位 1 分
📘 挑戰題 2（5分）
一個圓柱形水杯直徑 14 cm（π 用 22/7），裝滿水。放入一個體積 1540 cm³ 的不規則金屬塊後，水溢出。取出金屬塊，杯內水位下降至離杯口 5 cm。求水杯的高度。
✅ 答案： 15 cm
解題步驟：
- 水杯半徑 = 14 ÷ 2 = 7 cm
- 底面積 = π × 7² = (22/7) × 49 = 154 cm²
- 水位下降部分的體積 = 金屬塊體積 = 1540 cm³
- 水位下降高度 = 1540 ÷ 154 = 10 cm
- 杯高度 = 下降高度 + 離杯口距離 = 10 + 5 = 15 cm
得分： 半徑 1 分，底面積 1 分，下降高度 1 分，杯高度 1 分，單位 1 分
🧠 思維提示：排水法關鍵是「物體體積 = 排開水的體積」。溢出法與水位上升法本質相同，但要注意容器是否均勻截面、物體是否完全浸沒。進階題常混合浮力、多物體或非柱體容器，記得畫圖輔助思考！
